Rozważmy równanie
\(\displaystyle{ x_1 + …. + x_5 = 20}\), \(\displaystyle{ x_i}\) – liczby naturalne nieujemne, \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3, 4, 5}\).
Liczby występujące w każdym rozwiązaniu porządkujemy od największej do najmniejszej.
Czy prawdą jest, że istnieje \(\displaystyle{ 30}\) rozwiązań, które (po uporządkowaniu) są identyczne?
Czy prawdą jest, że istnieje \(\displaystyle{ 47}\) takich rozwiązań?
Jak bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ P(20,5) = 84}\).
W podziale na składniki nie ma zer, więc w f. diopantycznej daję warunek, że każda wartość \(\displaystyle{ \ge 1}\) i uzyskuję \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +x_5 = 15}\) i jest to \(\displaystyle{ 3876}\).
Przechodzimy teraz do zasady szufladkowej, a więc:
\(\displaystyle{ 3876 > r \cdot 84}\)
Największe r całkowite spełniające równanie to \(\displaystyle{ 46}\), więc na mocy zasady szufladkowej wiemy, że istnieje taka pula rozwiązań f.diopantycznej \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +x_5 = 15}\), których uporządkowanych rozwiązań po uporządkowaniu jest co najmniej \(\displaystyle{ 47}\).
W tym wypadku było by prawdą, że istnieje \(\displaystyle{ 47}\) takich rozwiązań.
Z tego samego wynika też, że istnieje też \(\displaystyle{ 30}\) takich rozwiązań, które po uporządkowaniu są takie same.
Czy dobrze myślę?
Czy prawdą jest, że istnieje 47 takich rozwiązań?
Czy prawdą jest, że istnieje 47 takich rozwiązań?
Ostatnio zmieniony 19 lis 2019, o 18:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj indeksów dolnych. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Używaj indeksów dolnych. Symbol mnożenia to \cdot.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Czy prawdą jest, że istnieje 47 takich rozwiązań?
\(\displaystyle{ 20=5+5+5+4+1=5+4+4+4+3}\)
Takich rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \frac{5!}{3!}=20 }\)
\(\displaystyle{ 20=5+5+4+4+2}\)
Takich rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \frac{5!}{2!2!}=30 }\)
Nie ma rozwiązania które zawierałoby pięć lub cztery różnych liczb z podanego zbioru, więc 47 identycznych (po uporządkowaniu) rozwiązań nie istnieje.
Takich rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \frac{5!}{3!}=20 }\)
\(\displaystyle{ 20=5+5+4+4+2}\)
Takich rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \frac{5!}{2!2!}=30 }\)
Nie ma rozwiązania które zawierałoby pięć lub cztery różnych liczb z podanego zbioru, więc 47 identycznych (po uporządkowaniu) rozwiązań nie istnieje.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Czy prawdą jest, że istnieje 47 takich rozwiązań?
A jednak \(\displaystyle{ 1+2+3+4+10=20}\)
Wszystkich rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich jest \(\displaystyle{ {19 \choose 4} }\) , a w całkowitych nieujemnych jest \(\displaystyle{ {21 +4-1 \choose 4} }\).
Pozostaje uporządkować, ale na to nie mam chwilowo pomysłu...
Pozdrawiam
[edited]
Jeżeli \(\displaystyle{ x_i \ne x_j}\) dla \(\displaystyle{ i \ne j}\), to istnieje \(\displaystyle{ 5!=30}\) rożnych rozwiązań porządkujących się do jednego. I jest to największa ilość, bo jeżeli powtórzą się co najmniej dwa x, to mniej rozwiązań będzie się porządkowało do jednego!
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Czy prawdą jest, że istnieje 47 takich rozwiązań?
Jak zwykle nie doczytałem i przyjąłem że rozwiązaniami mogą być liczby tylko z \(\displaystyle{ {1,2,3,4,5}}\), i stąd wynika moje rozwiązanie.