Dowód z szeregiem i ułamkiem

[p13]

Czy ktoś ma pomysł, jak rozwiązać to zadanie?

Wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } (-1)^{k-1}k^{2} = (1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2} }\)

[a4karo]

Nie, bo to nieprawda

[p13]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } (-1)^{k-1}k^{2} = (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2} }\)

[Premislav]

Raczej: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\red{n}}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}}\).

Dzisiaj jakoś nie mam ładnych pomysłów.
Zrobimy to następująco: jest \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}, \ x\neq 1}\). Różniczkując to stronami, dostajemy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\frac{(n+1)x^{n}(x-1)-\left(x^{n+1}-1\right)}{(x-1)^{2}}}\)
Mnożymy otrzymaną równość stronami przez \(\displaystyle{ x}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k}=\frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(x-1)^{2}}, \ x\neq -1}\)
Ponownie różniczkujemy stronami powyższą równość, co daje:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}x^{k-1}=\frac{\left(n(n+2)x^{n+1}-(n+1)^{2}x^{n}+1\right)(x-1)^{2}-2(x-1)\left(nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x\right)}{(x-1)^{4}}}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ x:=-1}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}(-1)^{k-1}=\frac{n(n+2)(-1)^{n+1}-(n+1)^{2}(-1)^{n}+1+n(-1)^{n+2}-(n+1)(-1)^{n+1}-1}{4}\\=(-1)^{n+1}\frac{2n^{2}+2n}{4}=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}}\)
c.n.d.

[a4karo]

Indukcją pewnie pójdzie wprost i zupełnie bez bólu.

[Premislav]

Indukcja to ostateczność. Chyba mam lepszy pomysł niż mój poprzedni, na pewno bardziej elementarny:
jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to rzeczona suma wynosi
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}\left((2k-1)^{2}-(2k)^{2}\right)\\=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}(1-4k)=\frac{n}{2}-4\sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor}k\\= \frac{n}{2}-n\left(\frac{n}{2}+1\right)=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}}\)
zaś jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to ta suma przedstawia się tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=n^{2}+\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}\left((2k-1)^{2}-(2k)^{2}\right)\\=n^{2}+\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}(1-4k)=n^{2}+\frac{n-1}{2}-4\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}k\\=n^{2}+ \frac{n-1}{2}-(n-1)\left(\frac{n-1}{2}+1\right)=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}}\)

[a4karo]

No to może tak: z tożsamości \(k^2=\frac12[k(k+1)+(k-1)k]\) dostajemy
\begin{align}\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}k^2&=\frac12\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}[k(k+1)+(k-1)k]\\
&=\frac12\left(\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}k(k+1)+\sum_{k=0}^n (-1)^{k}k(k+1)\right)\\
&=(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}\end{align}

[p13]

A czy rozwiązałby ktoś to zadanie indukcją?

[a4karo]

To nie jest trudne: spróbuj zrobić sam, krok indukcyjny
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} k^2=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 + (-1)^n (n+1)^2=...}\)