Znajdź funkcję tworzącą ciągu

[razelll]

a) \(\displaystyle{ a_{n} = 4^{n-1}, n = 0,1,... }\)
b) \(\displaystyle{ a_{n} = 7n + 2, n = 0,1,...}\)

[Premislav]

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}4^{n-1}x^{n}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(4x)^{n}=\frac{1}{4(1-4x)}, \ |x|<\frac{1}{4}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(7n+2)x^{n}=7\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n}+2\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\\=7\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}+\frac{2}{1-x} =7\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n}x^{n}+\frac{2}{1-x}\\=7\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}x^{n}+\frac{2}{1-x}=7\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{1-x}+\frac{2}{1-x}\\=\frac{7}{1-x}\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}+\frac{2}{1-x}=\frac{7x}{(1-x)^{2}}+\frac{2}{1-x}, \ |x|<1}\)

W pierwszym przykładzie skorzystałem ze wzoru na sumę wyrazów zbieżnego szeregu geometrycznego, a w drugim (prócz tego samego wzoru) ze zmiany kolejności sumowania (alternatywnie można wykorzystać różniczkowanie szeregów potęgowych).

[razelll]

Dziękuję ślicznie!