Znajdź wzór jawny

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
razelll
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 7 paź 2009, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 1 raz

Znajdź wzór jawny

Post autor: razelll »

W pewnym państwie średnia pensja w momencie wstąpienia do UE wynosiła 2 tys. euro a w miesiąc po wstąpieniu wynosiła 3 tys. euro. W każdym następnym miesiącu średnia pensja stanowiła sumę średniej pensji za ostatni miesiąc i pomnożonej przez 6 średniej pensji z przedostatniego miesiąca. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ p_{n} }\) - średnią pensję (w tys euro) w \(\displaystyle{ n}\) miesięcy po wstąpieniu do UE.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Znajdź wzór jawny

Post autor: Premislav »

Mamy tutaj do czynienia z następującą zależnością rekurencyjną (wg średniej pensji w tysiącach euro):
\(\displaystyle{ p_{0}=2, \ p_{1}=3, \ p_{n+1}=p_{n}+6p_{n-1}, \ n\ge 1}\)
czyli innymi słowy
\(\displaystyle{ p_{n}=p_{n-1}+6p_{n-2}, \ n\ge 2}\). Użyjemy funkcji tworzących:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}p_{n}x^{n}=\sum_{n=2}^{\infty}p_{n-1}x^{n}+6\sum_{n=2}^{\infty}p_{n-2}x^{n}\\G(x)-p_{1}x-p_{0}=x\left(G(x)-p_{0}\right)+6x^{2}G(x)}\)
gdzie rzecz jasna \(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}p_{n}x^{n}}\).
Mamy więc:
\(\displaystyle{ G(x)-3x-2=x(G(x)-2)+6x^{2}G(x)\\ G(x)\left(1-x-6x^{2}\right)=x+2\\G(x)=\frac{x+2}{1-x-6x^{2}}}\)
Rozkładamy na ułamki proste to całe
\(\displaystyle{ \frac{x+2}{1-x-6x^{2}}: \\\frac{x+2}{1-x-6x^{2}}=\frac{x+2}{(1-3x)(1+2x)}=\frac{A}{1-3x}+\frac{B}{1+2x}}\)
Bez trudu obliczamy (sprowadzając do wspólnego mianownika, mnożąc przez mianowniki i porównując wielomiany), że
\(\displaystyle{ \begin{cases}2A-3B=1\\A+B=2 \end{cases}}\)
Rozwiązanie tego układu równań jest proste, wychodzi \(\displaystyle{ A=\frac{7}{5}, \ B=\frac{3}{5}}\).
Czyli jest
\(\displaystyle{ G(x)=\frac{\frac{7}{5}}{1-3x}+\frac{\frac{3}{5}}{1+2x}}\)
Rozwijamy teraz te ułamki w szeregi geometryczne, korzystając z
\(\displaystyle{ \frac{a_{0}}{1-q}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{0}q^{n}, \ |q|<1: \\G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{7}{5}\cdot (3x)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3}{5}\cdot (-2x)^{n}}\)
Dostajemy więc
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}p_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{7}{5}\cdot 3^{n}+\frac{3}{5}\cdot (-2)^{n}\right)x^{n}\\ p_{n}=\frac{7}{5}\cdot 3^{n}+\frac{3}{5}\cdot (-2)^{n}}\)
razelll
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 7 paź 2009, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Znajdź wzór jawny

Post autor: razelll »

Dziękuję!
ODPOWIEDZ