podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8

[junior_mat]

Witam,
mam następujące pytanie:
Ile jest liczb naturalnych bez zera nie większych od \(\displaystyle{ 2000}\), które nie są podzielne przez żadną z następujących cyfr\(\displaystyle{ 2,6,8}\)?

licząc za pomocą skryptu wychodzi \(\displaystyle{ 1000}\).

Kod: Zaznacz cały

https://ideone.com/VHrxH0

licząc zgodnie z tym co podaje liu:
Do zbioru \(\displaystyle{ A}\) naleza liczby:
\(\displaystyle{ n(A)=1000\\
n(B)=333\\
n(c)=250\\
n(A∩B)=166\\
n(A∩C)=125\\
n(B∩C)=41\\
n(A∩B∩C)=20\\
1000+333-166+250-125-41-20=1268}\)

idąc tokiem rozumowania Tristan

\(\displaystyle{ 2000-(1000+333+250)+(166+125+41+20)= 769}\)

w związku z tym bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie jak finalnie powinno wyglądać rozwiązanie

[junior_mat]

tutaj link do tematu na którym się wzorowałem
viewtopic.php?f=41&t=17837#p82045

[Rafsaf]

\(\displaystyle{ n(A \cap B)=166\\
n(A \cap C)=125\\
n(B \cap C)=41\\
n(A \cap B \cap C)=20\\ }\)

Pomysł jest dobry, tak należy to zadanie robić(czyli zasada włączeń i wyłączeń), ale obliczenia powyżej są bez większego sensu.
Jakbyś przypatrzył się bliżej temu co liczyłeś to zauważyłbyś że taki np. napis:

\(\displaystyle{ n(A \cap B)=166 \neq 333=n(B)}\)

sugeruje, że NIE każda liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\).

W pozostałych podobnie poprawić i wyjdzie.

[junior_mat]

Witam,
dziękuję za odpowiedź.
Niestety w dalszym ciągu nie rozumiem jak poprawnie obliczyć to zadanie.

\(\displaystyle{ A \cap B }\) to jak rozumiem zbiór takich liczb, które są podzielne jednocześnie przez 6 i przez 2. Dlaczego zatem nie mogę wykorzystać analogicznego sposobu liczenia tego zbioru? tzn:

\(\displaystyle{ 2\cdot 6=12\\
1\cdot 12,2\cdot 12,...,166\cdot 12}\)

czy mam to obliczyć w taki sposób, że\(\displaystyle{ A \cap B}\) będzie zawsze prawdziwe jeśli zostanie spełniony warunek podzielności przez 6?

Zatem \(\displaystyle{ A \cap B}\)
\(\displaystyle{ 1\cdot 6,2\cdot 6...333\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ A \cap B =333}\)
?

Dodano po 11 minutach 32 sekundach:
Gdyby tak było to rachunki wyglądały by chyba tak:

\(\displaystyle{ n(A) = 1000\\
n(b) = 333'\\
n(c) = 250\\
n( A \cap B ) = 333 \\
n( A \cap C ) = 250 \\
n( B \cap C ) = 41 \\
n( A \cap B \cap C ) = 41 \\
1000 + 333 - 333 +250 - 250 -41 -41 = 918}\)
a wq Tristan
\(\displaystyle{ 2000 - (1000 + 333 + 250) + (333 + 250 + 41 + 41) = 1082}\)

[Rafsaf]

Tak. będzie wynik \(\displaystyle{ 333}\) dla liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 6}\)

\(\displaystyle{ A \cap B }\) to jak rozumiem zbiór takich liczb, które są podzielne jednocześnie przez 6 i przez 2. Dlaczego zatem nie mogę wykorzystać analogicznego sposobu liczenia tego zbioru?

Oczywiście, to są takie podzielne jednocześnie przez \(\displaystyle{ 6}\) i przez \(\displaystyle{ 2}\) i tak jak to zrobiłeś czyli wybranie podzielnych przez \(\displaystyle{ 12}\) pomija wiele przypadków.

Innymi słowy interesują Cię wielokrotności NWW(najmniejsza wspólna wielokrotność) tych dwóch/trzech/więcej liczb jeśli chcesz znaleźć wszystkie liczby podzielne jednocześnie przez nie.

Inny przykład:
Jak chcę znaleźć liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 100}\) podzielne jednocześnie przez \(\displaystyle{ 2,8,4,3}\) to wedle Twojego "sposobu" nie byłoby żadnej takiej(bo \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 = 192}\)) a przecież \(\displaystyle{ 24}\) jak najbardziej spełnia założenia i wielokrotności \(\displaystyle{ 24}\) również czyli \(\displaystyle{ 24,48,72,96}\)

[junior_mat]

ok, to CHYBA rozumiem
w takim wypadku powinienem też chyba zmienić zbiór \(\displaystyle{ n( B \cap C ) = 41 }\) na \(\displaystyle{ n( B \cap C ) = 83 }\) bo \(\displaystyle{ 2000/24 = 83,3}\)
oraz \(\displaystyle{ n( A \cap B \cap C ) = 41 }\) na \(\displaystyle{ n( A \cap B \cap C ) = 83 }\)

Niestety wyniki jeszcze bardziej się rozjeżdżają. Gdzie jeszcze popełniam błąd?

\(\displaystyle{ n(A) = 1000\\
n(b) = 333\\
n(c) = 250\\
n( A \cap B ) = 333 }\)
\(\displaystyle{ n( A \cap C ) = 250 }\)
\(\displaystyle{ n( B \cap C ) = 83 }\)
\(\displaystyle{ n( A \cap B \cap C ) = 83 }\)
\(\displaystyle{ 1000 + 333 - 333 +250 - 250 -83 -83 = 834 }\)
a wq Tristan
\(\displaystyle{ 2000 - (1000 + 333 + 250) + (333 + 250 + 83 + 83) = 1166}\)


Dodano po 10 minutach 59 sekundach:
Generalnie "na oko" widać, że to 83 i 83 tam nie pasuje. Nie wiem tylko, dlaczego w tym konkretnym przypadku te dwa zbiory nie powodują zmiany ilości powtórzeń tych samych liczb?

[Rafsaf]

Tak, teraz już moce tych zbiorów liczysz poprawnie,
jest inaczej niż napisałeś bo przy \(\displaystyle{ \left| A \cap B \cap C\right|}\) jest inny znak niż przy \(\displaystyle{ \left| A \cap B\right|}\) itp. czyli

\(\displaystyle{ 1000+333−333+250−250−83+83=1000}\)

a to już wynika z wzoru na \(\displaystyle{ \left| A \cup B \cup C\right|}\)

Nie mam predyspozycji by się tu nad tym rozwodzić i tłumaczyć, może coś takiego będzie jasne zależnie od Twojego poziomu wiedzy

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materialy/Zasada_Wl_Wyl.pdf

lub poszukaj w necie czegoś bardziej przystępnego o zasadzie włączeń i wyłączeń jeśli np. przypadkowo nie studiujesz(lub nie studiujesz dość długo) matmy lub infy czy czegoś podobnego

[junior_mat]

Bardzo dziękuję za odpowiedź.
Czy mógłbym jeszcze poprosić o pomoc z jednym zadaniem?
viewtopic.php?f=41&t=442980