Znajdź wzór jawny

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
junior_mat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 lis 2019, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 7 razy

Znajdź wzór jawny

Post autor: junior_mat »

Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

W pierwszy roku zysk ze sprzedaży samochodów (komis) wyniósł 1 tys dolarów.
W każdym następnym roku zysk zwiększał się o 60% w stosunku do poprzedniego roku oraz dodatkowo 0,4 tys dolarów jako bonus.
Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ z_{n} }\) zysk w n roku od rozpoczęcia działania firmy.

Dodano po 14 minutach 11 sekundach:
W pierwszym roku kupiłem 1 pianino, w drugim roku kupiłem 4. Każdego następnego roku liczba kupionych pianin stanowiła różnicę pomiędzy pomnożoną przez 5 liczbą pianin z poprzedniego roku i pomnożoną przez 4 liczbą pianin dwa lata wcześniej. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ l_{n} }\)- liczbę pianin kupionych n-tego roku
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Znajdź wzór jawny

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ z_1=z=1\\\
z_2=1,6z+0,4\\
z_3=1,6^2z+0,4(1+1,6)\\
z_4=1,6^23+0,4(1+1,6+1,6^2)\\
....\\
z_n=1,6^{n-1}z+0,4(1+1,6+...+1,6^{n-2})\\
\\
z_n=1,6^{n-1}+0,4 \cdot \frac{1,6^{n-1}-1}{1,6-1} }\)


Dodano po 4 minutach 35 sekundach:
\(\displaystyle{ l_n=5l_{n-1}-4l_{n-1}\\
r^2-5r+4=0\\
r=1 \vee r=4\\
l_n=A1^n+B4^n\\
\begin{cases} 1=A+4B \\ 4=A+18B \end{cases} }\)
junior_mat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 lis 2019, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 7 razy

Re: Znajdź wzór jawny

Post autor: junior_mat »

kerajs pisze: 6 lis 2019, o 17:03 \(\displaystyle{ z_1=z=1\\\
z_2=1,6z+0,4\\
z_3=1,6^2z+0,4(1+1,6)\\
z_4=1,6^23+0,4(1+1,6+1,6^2)\\
....\\
z_n=1,6^{n-1}z+0,4(1+1,6+...+1,6^{n-2})\\
\\
z_n=1,6^{n-1}+0,4 \cdot \frac{1,6^{n-1}-1}{1,6-1} }\)


Dodano po 4 minutach 35 sekundach:
\(\displaystyle{ l_n=5l_{n-1}-4l_{n-1}\\
r^2-5r+4=0\\
r=1 \vee r=4\\
l_n=A1^n+B4^n\\
\begin{cases} 1=A+4B \\ 4=A+18B \end{cases} }\)
Witam,
bardzo dziękuję za odpowiedź. Mam jednak pytanie. Czy w drugim rozwiązaniu nie powinno być
\(\displaystyle{ l_n=5l_{n-1}-4l_{n-2}\\ }\)
?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Znajdź wzór jawny

Post autor: kerajs »

Masz rację, w pośpiechu popełniłem kilka literówek. Sorry.
Wersja poprawiona:
\(\displaystyle{ l_n=5l_{n-1}-4l_{n-2}\\
r^2-5r+4=0\\
r=1 \vee r=4\\
l_n=A1^n+B4^n\\
\begin{cases} 1=A+4B \\ 4=A+16B \end{cases} \\
A=0 \wedge B= \frac{1}{4} \\
\\
l_n=4^{n-1}
}\)


PS
Wynik w pierwszym zadaniu można jeszcze uprościć.
ODPOWIEDZ