2 ciągi

[junior_mat]

Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań:

funkcja tworząca ciągu:

a) \(\displaystyle{ a_{n} = n + 1, n = 0,1,...,}\)
b) \(\displaystyle{ a_{n} = n5^{n}, n = 0,1,...,}\)

Czy poprawne są rozwiązania?

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty } (n+1) x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} + 1 \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{ (1-x)^{2} } + \frac{1}{(1-x)} = \frac{1}{ {(1-x) ^{2} } } }\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty } n 5^{n} x ^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n (5x)^{n} }\)
\(\displaystyle{ y=5x\\
\sum_{n=0}^{\infty} n y^{n} = \frac{y}{ (1-y)^{2} } = \frac{5x}{ (1-5x)^{2} }}\)

[Tmkk]

Poprawnie.