kolorowanie zbioru i tworzenie ciągu

[K4M1L]

Pokazać, że w dowolnym kolorowaniu elementów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,...,9\right\} }\) na jeden z dwóch kolorów występują trzy liczby w tym samym kolorze tworzące kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Czy 9 jest najmniejszą liczbą o tej własności?

Być może przyda się tw. Erdös-Szekeres`a
Na pewno będzie 5 liczb w jednym kolorze (zasada Dirichleta), na pewno będzie podciąg malejący rosnący ( z zasady wspomnianej wyżej) jednak co dalej?

[Dasio11]

Ustalmy, że kolorujemy na zielono i czerwono. Przypuśćmy nie wprost, że istnieje kolorowanie niespełniające tezy. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ \textcolor{red}{5}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \textcolor{green}{3}}\), bo w przeciwnym razie z powodu ciągów \(\displaystyle{ (1, \textcolor{red}{3}, \textcolor{red}{5})}\), \(\displaystyle{ (\textcolor{red}{3}, 4, \textcolor{red}{5})}\), \(\displaystyle{ (\textcolor{red}{3}, \textcolor{red}{5}, 7)}\) musiałoby być \(\displaystyle{ (\textcolor{green}{1}, \textcolor{green}{4}, \textcolor{green}{7})}\), czyli sprzeczność. Rozumując symetrycznie, dostajemy \(\displaystyle{ \textcolor{green}{7}}\).

Dalej: ciągi \(\displaystyle{ (1, 2, \textcolor{green}{3})}\), \(\displaystyle{ (2, \textcolor{green}{3}, 4)}\) i \(\displaystyle{ (1, 4, \textcolor{green}{7})}\) sprawiają, że przynajmniej dwie z liczb \(\displaystyle{ 1, 2, 4}\) są czerwone. Znów z symetrii dostajemy, że przynajmniej dwie z liczb \(\displaystyle{ 9, 8, 6}\) są czerwone. W związku z tym w ciągach \(\displaystyle{ (1, \textcolor{red}{5}, 9)}\), \(\displaystyle{ (2, \textcolor{red}{5}, 8)}\), \(\displaystyle{ (4, \textcolor{red}{5}, 6)}\), przynajmniej cztery czarne liczby są de facto czerwone, co prowadzi do sprzeczności.