uczę się dowodów poprzez indukcję ale nie mam żadnego sposobu aby potwierdzić czy moje rozwiązania są poprawne. Czy moglibyście spojrzeć na poniższe rozwiązanie i potwierdzić ze jest dobrze lub jeśli źle to poprawić i wytłumaczyć? Będę niezmiernie wdzięczny
Polecenie: Udowodnij indukcyjnie, że dla dowolnego naturalnego n>0 zachodzi: \(\displaystyle{ 3|4 ^n +5}\)
1.
\(\displaystyle{ n=1 \\
3|4 ^{1} +5 \\
3|9}\)
2.
\(\displaystyle{ 3|4 ^{k} +5 \Rightarrow 4 ^{k}+5 = 3p \ \ \ 4 ^{k} = 3p-5}\)
3.
\(\displaystyle{ 3|4 ^{k+1} +5 \Rightarrow 4 ^{k+1}+5 = 3q\\
4 ^{k+1} +5 = 4 ^{k}\cdot 4 +5 = 12p-20+5 = 12p-15=3(4p-5) \\
q=4p-5}\)
Prawdę mówiąc robie to trochę mechanicznie, i nie do końca rozumiem co mam udowodnić (rozumiem, że prawa ma się równać lewej, ale np. dla \(\displaystyle{ p=1}\) to juz nie będzie liczba naturalna, bo \(\displaystyle{ 3(4p-5)}\) będzie się równać \(\displaystyle{ -3}\) a \(\displaystyle{ 4 ^{k+1} +5}\) nigdy nie będzie się równać \(\displaystyle{ -3}\) dla zadnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\), stąd moje wątpliwości.)
