Permutacja z powtórzeniami
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 23 paź 2019, o 19:14
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Permutacja z powtórzeniami
Witam, mam problem z zadaniem.
Mamy a kobiet i b mężczyzn. Na ile sposobów można ich ustawić w rzędzie aby dwóch mężczyzn nie stało obok siebie?
Mamy a kobiet i b mężczyzn. Na ile sposobów można ich ustawić w rzędzie aby dwóch mężczyzn nie stało obok siebie?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Jest \(\displaystyle{ a-1}\) miejsc pomiędzy kobietami \(\displaystyle{ +2}\) na początku i końcu zatem można wybrać \(\displaystyle{ b}\) miejsc dla \(\displaystyle{ b}\) chłopaków na \(\displaystyle{ {a+1 \choose b} }\) sposobów a potem można przestawiać na \(\displaystyle{ a!b!}\) sposobów zatem wszystkich ustawiań jest \(\displaystyle{ {a+1 \choose b}a!b! }\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Tak, o ile \(\displaystyle{ a>b }\).Janusz Tracz pisze: ↑23 paź 2019, o 19:49 Jest \(\displaystyle{ a-1}\) miejsc pomiędzy kobietami \(\displaystyle{ +2}\) na początku i końcu zatem można wybrać \(\displaystyle{ b}\) miejsc dla \(\displaystyle{ b}\) chłopaków
Należy także rozważyć sytuacje:
1) \(\displaystyle{ a=b}\)
2) \(\displaystyle{ a=b-1}\)
3) \(\displaystyle{ a<b-1}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Gdy \(\displaystyle{ a=b}\) to zapełniamy \(\displaystyle{ a-1}\) miejsc \(\displaystyle{ b-1}\) chłopakami a ostatniego można dać na początek lub koniec czyli \(\displaystyle{ 2}\) opcje dodatkowe więc wszystkich jest \(\displaystyle{ 2a!b!}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 23 paź 2019, o 19:14
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Hmm wydaje mi się, że zrozumiałem, tylko czy na pewno konieczne jest mnożenie na końcu razy a! i b!?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Jeśli uznajemy każdą z osób za rozróżnialną (a tak zakładam, że nie ma bliźniaków) to mnożenie przez \(\displaystyle{ a!}\) oraz \(\displaystyle{ b!}\) daje nam liczbę wszystkich permutacji w takich, że na ustalonych miejscach stoją już chłopaki i dziewczyny ale mogą się podmieniać (permutacje zliczają te podmianki).
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
To niestety (i poniekąd jest to także moja wina) nie jest prawidłowa odpowiedź.Janusz Tracz pisze: ↑23 paź 2019, o 20:26 Gdy \(\displaystyle{ a=b}\) to zapełniamy \(\displaystyle{ a-1}\) miejsc \(\displaystyle{ b-1}\) chłopakami a ostatniego można dać na początek lub koniec czyli \(\displaystyle{ 2}\) opcje dodatkowe więc wszystkich jest \(\displaystyle{ 2a!b!}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Jeżeli mężczyźni nie mogą stać koło siebie, to znaczy że mężczyźni i kobiety muszą ustawić się w szeregu na przemian.
Jeżeli kobiet jest więcej od mężczyzn \(\displaystyle{ a > b,}\) to jako pierwsza w rzędzie musi stać kobieta.
\(\displaystyle{ K M K M ... M K }\)
Skoro miejsca dla kobiet są już ustalone, wystarczy je ustawić na \(\displaystyle{ a! }\) sposobów.
Dołączamy do tego rzędu kobiet - na ustalonych miejscach mężczyzn na \(\displaystyle{ b! }\) sposobów.
Wszystkich możliwych sposobów ustawień kobiet i mężczyzn w rzędzie jest \(\displaystyle{ a! \cdot b!.}\)
Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A }\) " dwóch mężczyzn nie stoi obok siebie", wynosi
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{a!\cdot b!}{(a+b)!} \ \ (1) }\)
W przypadku, gdy mężczyzn jest więcej niż kobiet \(\displaystyle{ b > a, }\) to jako pierwszy w rzędzie musi stać mężczyzna
\(\displaystyle{ M K M K ... KM }\)
Podobnie rozumując- otrzymujemy ten sam wzór \(\displaystyle{ (1) }\) na prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A. }\)
W przypadku, gdy liczba kobiet i mężczyzn jest taka sama \(\displaystyle{ a = b, }\) wtedy na pierwszym miejscu może stać zarówno kobieta jak i mężczyzna.
Liczba wszystkich możliwych ustawień kobiet i mężczyzn tak, aby żaden mężczyzna i żadna kobieta nie stali koło siebie wynosi \(\displaystyle{ 2a!\cdot b! }\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A }\) w tym przypadku jest dwukrotnie większe i wynosi
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{2\cdot a!\cdot b!}{(a + b )!}. }\)
Liczby wszystkich możliwych ustawień kobiet i mężczyzn , które są treścią zadania znajdują się w licznikach prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(A). }\)
Jeżeli kobiet jest więcej od mężczyzn \(\displaystyle{ a > b,}\) to jako pierwsza w rzędzie musi stać kobieta.
\(\displaystyle{ K M K M ... M K }\)
Skoro miejsca dla kobiet są już ustalone, wystarczy je ustawić na \(\displaystyle{ a! }\) sposobów.
Dołączamy do tego rzędu kobiet - na ustalonych miejscach mężczyzn na \(\displaystyle{ b! }\) sposobów.
Wszystkich możliwych sposobów ustawień kobiet i mężczyzn w rzędzie jest \(\displaystyle{ a! \cdot b!.}\)
Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A }\) " dwóch mężczyzn nie stoi obok siebie", wynosi
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{a!\cdot b!}{(a+b)!} \ \ (1) }\)
W przypadku, gdy mężczyzn jest więcej niż kobiet \(\displaystyle{ b > a, }\) to jako pierwszy w rzędzie musi stać mężczyzna
\(\displaystyle{ M K M K ... KM }\)
Podobnie rozumując- otrzymujemy ten sam wzór \(\displaystyle{ (1) }\) na prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A. }\)
W przypadku, gdy liczba kobiet i mężczyzn jest taka sama \(\displaystyle{ a = b, }\) wtedy na pierwszym miejscu może stać zarówno kobieta jak i mężczyzna.
Liczba wszystkich możliwych ustawień kobiet i mężczyzn tak, aby żaden mężczyzna i żadna kobieta nie stali koło siebie wynosi \(\displaystyle{ 2a!\cdot b! }\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A }\) w tym przypadku jest dwukrotnie większe i wynosi
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{2\cdot a!\cdot b!}{(a + b )!}. }\)
Liczby wszystkich możliwych ustawień kobiet i mężczyzn , które są treścią zadania znajdują się w licznikach prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(A). }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22174
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Chyba nie zrozumiałeś treści zadania. Ustawieniejanusz47 pisze: ↑25 paź 2019, o 10:45 Jeżeli mężczyźni nie mogą stać koło siebie, to znaczy że mężczyźni i kobiety muszą ustawić się w szeregu na przemian.
Jeżeli kobiet jest więcej od mężczyzn \(\displaystyle{ a > b,}\) to jako pierwsza w rzędzie musi stać kobieta.
\(\displaystyle{ K M K M ... M K }\)
MKKKKKKKM jest ok
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
\(\displaystyle{ M \le K+1}\)
Dodano po 15 minutach 10 sekundach:
\(\displaystyle{ a}\)- kobiety, \(\displaystyle{ b}\)- mężczyźni
Wsk: Najpierw ustawiamy kobiety , a między przegródkami mężczyzn , przegródek jest \(\displaystyle{ a+1}\) (w jednej przegródce tylko jeden facet)
najpierw wybieramy \(\displaystyle{ b}\) przegródek bo do nich dajemy gości... na sposobów:
\(\displaystyle{ {a+1 \choose b} }\) - tyle możliwości wyboru przegródek... w których siedzą faceci...
Po ustawieniu kobiet i zaaplikowaniu mężczyzn do przegródek wcześniej wybranych mamy już tylko permutacje...
Zresztą Janusz Tracz już to zrobił nawet nie zauważyłem...
Dodano po 15 minutach 10 sekundach:
\(\displaystyle{ a}\)- kobiety, \(\displaystyle{ b}\)- mężczyźni
Wsk: Najpierw ustawiamy kobiety , a między przegródkami mężczyzn , przegródek jest \(\displaystyle{ a+1}\) (w jednej przegródce tylko jeden facet)
najpierw wybieramy \(\displaystyle{ b}\) przegródek bo do nich dajemy gości... na sposobów:
\(\displaystyle{ {a+1 \choose b} }\) - tyle możliwości wyboru przegródek... w których siedzą faceci...
Po ustawieniu kobiet i zaaplikowaniu mężczyzn do przegródek wcześniej wybranych mamy już tylko permutacje...
Zresztą Janusz Tracz już to zrobił nawet nie zauważyłem...
Ostatnio zmieniony 25 paź 2019, o 13:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: mężczyźni.
Powód: Poprawa wiadomości: mężczyźni.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Rozwiązanie Janusza Tracza działa bez założenia, że \(\displaystyle{ a > b}\), a jeśli twierdzisz inaczej, to wskaż błąd.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Proszę bardzo: \(\displaystyle{ a=2, b \ge 4}\)
Nie negowałem poprawności rozwiązania, lecz pominięcie założeń przy których to rozwiązanie zachodzi. A zachodzi ono dla \(\displaystyle{ a \ge b-1}\). Dla \(\displaystyle{ a < b-1}\) nie można ustawić w rzędzie osób tak, aby dwóch mężczyzn nie stało obok siebie, więc tu jest zero sposobów.
Przyznaję, rozpatrywanie przypadków 1) i 2) jest zbędne, tu wzorek Janusza47 działa także, lecz jego odpowiedź na 1) była niepoprawna.
Przepraszam za zamieszanie.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
To nie jest błąd, tylko równość i nierówność.
Otóż nie: rozwiązanie jest poprawne dla dowolnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b \ge 0}\). W szczególności: dla \(\displaystyle{ a=2, b=4}\) są \(\displaystyle{ 3}\) miejsca, w których można ustawić mężczyzn, i czterech mężczyzn do ustawienia. Sposobów by to zrobić (modulo rozróżnialność) jest więc tyle, ile \(\displaystyle{ 4}\)-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ 3}\)-elementowego, czyli \(\displaystyle{ \binom{3}{4} = 0}\).kerajs pisze: ↑26 paź 2019, o 06:05Nie negowałem poprawności rozwiązania, lecz pominięcie założeń przy których to rozwiązanie zachodzi. A zachodzi ono dla \(\displaystyle{ a \ge b-1}\). Dla \(\displaystyle{ a < b-1}\) nie można ustawić w rzędzie osób tak, aby dwóch mężczyzn nie stało obok siebie, więc tu jest zero sposobów.
Oczywiście sam fakt, że liczbie o której piszemy zdarza się czasami być zerem, nie czyni rozwiązania niepoprawnym.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Permutacja z powtórzeniami
Dobrze że napisałeś ten przykład, gdyż powyższa różnica zdań wynika wyłącznie z różnego definiowania współczynnika dwumianowego. Dla mnie \(\displaystyle{ {n \choose k} }\) jest określone dla \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\) , i stąd moje uwagi.