Podać wzór na sumę

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
zuza1414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 23 paź 2019, o 13:51
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 8 razy

Podać wzór na sumę

Post autor: zuza1414 »

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{1 \cdot 4}+ \frac{1}{4 \cdot 7}+\ldots+ \frac{1}{(3n-2) \cdot (3n+1)} }\)

Zgodnie z poleceniem muszę podać wzór w postaci funkcji zmiennej od n.Starałam się postępować analogicznie do przykładu omawianego na zajęciach jednak nadal mam wątpliwości co do swojego wyniku. Niestety na forum nie znalazłam nic co by mi w tym pomogło :/
To co sama próbowałam zrobić:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2) \cdot (3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2)}-\frac{1}{(3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{(3n-1)}=1-\frac{1}{(3n-1)}=\frac{3n-2}{(3n-1)} }\)

Będę bardzo wdzięczna za pomoc :)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: a4karo »

Prawie. To dobra droga, ale pierwsza równość nie jest prawdziwa.
A poza tym powinno być tak:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{?}{(3k-2)}-\frac{?}{(3k+1)}$$
zuza1414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 23 paź 2019, o 13:51
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 8 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: zuza1414 »

a4karo pisze: 23 paź 2019, o 15:29 Prawie. To dobra droga, ale pierwsza równość nie jest prawdziwa.
A poza tym powinno być tak:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{?}{(3k-2)}-\frac{?}{(3k+1)}$$
Czyli w pierwszym liczniku powinnam wpisać (3k-1) a w drugim (3k+2) aby się zgadzało?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: a4karo »

Nie. Nie jest prawdą, że
$$\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\frac{1}{(3k-2)}-\frac{1}{(3k+1)}$$
(sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika i zobacz co powinno byc zamiast jedynek)
zuza1414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 23 paź 2019, o 13:51
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 8 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: zuza1414 »

a4karo pisze: 23 paź 2019, o 21:45 Nie. Nie jest prawdą, że
$$\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\frac{1}{(3k-2)}-\frac{1}{(3k+1)}$$
(sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika i zobacz co powinno byc zamiast jedynek)
A jasne, teraz rozumiem. Po wpisaniu 3 w oba liczniki odpowiedź wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{3(3n-2)}{3n-1}}\), jest prawidłowa?
Ostatnio zmieniony 23 paź 2019, o 22:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: a4karo »

Pokaż cały rachunek
zuza1414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 23 paź 2019, o 13:51
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 8 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: zuza1414 »

a4karo pisze: 23 paź 2019, o 22:58 Pokaż cały rachunek
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)} }\)

Nie jestem tylko pewna czy ten moment jest w porządku:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}}\)
Jeśli nie, to co powinnam zmienić?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: a4karo »

Czegoś tu brak, coś jest źle
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}\tag{*}\\
&=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)}
\end{align}

Jak uzasadniasz równość (*)?

Pierwsza równość też nie jest prawdziwa - coś z tymi trójkami jest nie tak.

No i ostatnia też jest "z czapki".

Chyba nie za bardzo rozumiesz znak \(\sum\)?
zuza1414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 23 paź 2019, o 13:51
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 8 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: zuza1414 »

a4karo pisze: 23 paź 2019, o 23:24 Czegoś tu brak, coś jest źle
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}\tag{*}\\
&=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)}
\end{align}

Jak uzasadniasz równość (*)?

Pierwsza równość też nie jest prawdziwa - coś z tymi trójkami jest nie tak.

No i ostatnia też jest "z czapki".

Chyba nie za bardzo rozumiesz znak \(\sum\)?


Staram się zrozumieć przykład podobny do omawianego na zajęciach.
(*) przy tej równości chciałam skorzystać z ogólnego przekształcenia \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}f(k)=\sum_{k=2}^{n+1}f(k-1)}\)
Tylko tutaj widzę, że wcześniej nie odjęłam jedynki \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-2)}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: a4karo »

Po pierwsze:
$$\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}=\frac{(3k+1)-(3k-2)}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{3}{(3k-2)(3k-1)}$$
więc
$$\frac{1}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)$$

Po drugie jeżeli \(f(k)=\frac{1}{3k-2}\) to \(f(k+1)\neq \frac{1}{3k-1}\) lecz ????

Jak to uporządkujesz to napiszesz poprawne rozwiązanie
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: janusz47 »

Jeśli rozpiszemy ostatni wzór na sumę \(\displaystyle{ S_{n} }\) dla \(\displaystyle{ k = 1, 2,...,n }\), który podał Pan a4karo

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{1}{3} \left [ \left( 1- \frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) +...+ \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right) \right ], }\)

to które składniki tej sumy zostaną

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{1}{3} \left( ... - ... \right) }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: a4karo »

Janusz47, doceniam Twoja biegłość w rozwiązywaniu zadań, ale może byś dał ludziom samodzielnie skorzystać ze wskazówek?
To niestety kolejny raz, kiedy wcinasz się
zuza1414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 23 paź 2019, o 13:51
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 8 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: zuza1414 »

a4karo pisze: 24 paź 2019, o 00:16 Po pierwsze:
$$\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}=\frac{(3k+1)-(3k-2)}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{3}{(3k-2)(3k-1)}$$
więc
$$\frac{1}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)$$

Po drugie jeżeli \(f(k)=\frac{1}{3k-2}\) to \(f(k+1)\neq \frac{1}{3k-1}\) lecz ????

Jak to uporządkujesz to napiszesz poprawne rozwiązanie

W ostatnim wyrażeniu widzę że za n powinnam wstawiać (n+1)
Więc idąc dalej

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-1)}= \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{(3k-1)}= \frac{1}{3}-\frac{1}{3n+2}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: a4karo »

Nie. Niestety nie rozumiesz tego zapisu, a ponadto nawiasy wstawiasz w sposób losowy. To \(n+1\) nie wzięło się stąd, że ktoś je tam wstawił, tylko z konkretnych przekształceń.


\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k-1)}&=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)\\
&=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3(k+1)-2}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{3k-2}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{3(k+1)-2}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{3k-2}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{3k-2}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\frac{1}{3\cdot 1-2}-\frac{1}{3(n+1)-2}\right)=\frac{1}{3} \left(1-\frac{1}{3n+1}\right)
\end{align}

Przeanalizuj te rachunki krok po kroku i powiedz ja kolejna linijka wynika z poprzedniej.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Podać wzór na sumę

Post autor: janusz47 »

k- ty wyraz szeregu przedstawiamy w postaci sumy (różnicy) dwóch ułamków prostych:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(3k - 2)(3k+1)} = \frac{A}{3k- 2} + \frac{B}{3k+1} \ \ (0) }\)

Znajdujemy współczynniki \(\displaystyle{ A, B }\) tego przedstawienia

\(\displaystyle{ \frac{1}{(3k - 2)(3k+1)} = \frac{A}{3k- 2} + \frac{B}{3k+1} = \frac{A(3k+1)+ B(3k-2)}{(3k-2)(3k+1)}= \frac{3(A+B)k+A-2B }{(3k-2)(3k+1)} \ \ (1) }\)

Aby prawa strona równości \(\displaystyle{ (1) }\) równała się lewej, musi zachodzić tożsamość ( wynikająca z równości ułamków)

\(\displaystyle{ 3(A +B)k +A -2B \equiv 1 }\)

Stąd otrzymujemy układ równań na współczynniki \(\displaystyle{ A , \ \ B}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B = 0 \\ A - 2B = 1 \end{cases}}\)

Odejmując drugie równanie od pierwszego, mamy

\(\displaystyle{ -3B = 1, \ \ B = -\frac{1}{3} \ \ (2) }\)

Wstawiając równanie \(\displaystyle{ (2) }\) do pierwszego \(\displaystyle{ A = \frac{1}{3}. }\)

Z równości \(\displaystyle{ (0) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(3k - 2)(3k+1)} = \frac{A}{3k- 2} + \frac{B}{3k+1} = \frac{\frac{1}{3}}{3k-2} - \frac{\frac{1}{3}}{3k+1} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}\right) }\)

Przedstawiamy \(\displaystyle{ n- }\) tą sumę częściową szeregu w postaci

\(\displaystyle{ S_{n} = f(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k -2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2}- \frac{1}{3k+1}\right) = \frac{1}{3}\left[\left(1 -\frac{1}{4} \right ) + \left(\frac{1}{4} -\frac{1}{7} \right) +\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) +...+ \\ +\left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right ] = \frac{1}{3} \left (1 - \frac{1}{3n+1}\right)}\)

Pozostał tylko pierwszy i ostatni składnik sumy, pozostałe składniki się uprościły.

Stąd

\(\displaystyle{ f(n) = \frac{1}{3} \left (1-\frac{1}{3n+1}\right) = \frac{1}{3}\left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3}\left( \frac{3n}{3n+1} \right) = \frac{n}{3n+1}.}\)

To zadanie powinno być zapisane w działach: Analiza, Szeregi liczbowe i iloczyny.
ODPOWIEDZ