\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{200} {200 \choose k} \cdot k \cdot (-3)^{k} }\)
Mógłby ktoś to rozpisać i wyjaśnić?
Z góry dzięki
Obliczyć ze wzoru Newtona
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Obliczyć ze wzoru Newtona
Znów podobny temat…
Ponieważ \(\displaystyle{ k{n\choose k}=n{n-1\choose k-1}}\) (jeśli nie wierzysz, możesz rozpisać symbole Newtona na silnie i poskracać), więc
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{200}{200\choose k}k(-3)^{k}=\sum_{k=1}^{200}200{199 \choose k-1}(-3)^{k}\\=-600\sum_{k=1}^{200}{199\choose k-1}(-3)^{k-1}=-600\sum_{k=0}^{199}{199\choose k}(-3)^{k}\cdot 1^{199-k}\\=-600\cdot (-3+1)^{199}=600\cdot 2^{199}=75\cdot 2^{202}}\)
gdzie skorzystałem jeszcze ze wzoru dwumianowego Newtona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^{n}}\) dla \(\displaystyle{ a=-3, \ b=1, \ n=199}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ k{n\choose k}=n{n-1\choose k-1}}\) (jeśli nie wierzysz, możesz rozpisać symbole Newtona na silnie i poskracać), więc
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{200}{200\choose k}k(-3)^{k}=\sum_{k=1}^{200}200{199 \choose k-1}(-3)^{k}\\=-600\sum_{k=1}^{200}{199\choose k-1}(-3)^{k-1}=-600\sum_{k=0}^{199}{199\choose k}(-3)^{k}\cdot 1^{199-k}\\=-600\cdot (-3+1)^{199}=600\cdot 2^{199}=75\cdot 2^{202}}\)
gdzie skorzystałem jeszcze ze wzoru dwumianowego Newtona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^{n}}\) dla \(\displaystyle{ a=-3, \ b=1, \ n=199}\).