Suma szeregu

[nitecka]

Cześć,
bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania..

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} k \cdot{100 \choose k} }\)

Będę wdzięczna za każdą pomoc!

[Premislav]

To nie jest szereg. Wskazówka:
\(\displaystyle{ k{n\choose k}=n{n-1\choose k-1}}\)
Tutaj oczywiście \(\displaystyle{ n=100}\).

[MrCommando]

Możesz też rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=2}^{100} {100 \choose k} x^k }\), \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Można pokombinować ze wzorem dwumianowym i zapisać wzór tej funkcji o wiele prościej. Jak już to zrobisz to zastanów się jak wygląda pochodna tej funkcji i jak można to powiązać z zadaniem.

[nitecka]

Przepraszam, dwumian Newtona? Chyba mnie przerosło to zadanie jednak. :/
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} k \cdot{100 \choose k} = \sum_{k=2}^{100} k \frac{n!}{k! (n-k)!} = \sum_{k=2}^{100} \frac{n!}{(k-1)! (n-k)!} }\)
doszłam do czegoś takiego ale chyba niezbyt dobrze, bo jeżeli teraz chcę obliczyć tą sumę to dla k=0 w mianowniku pierwszy nawias wychodzi ujemny i nie wiem już jak to zadanie ugryźć..

[Premislav]

Ale przecież nie interesuje Cię \(\displaystyle{ k=0}\), skoro suma zaczyna się od \(\displaystyle{ k=2\ldots}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100}\frac{100!}{(k-1)!(100-k)!}=100\sum_{k=2}^{100}\frac{99!}{(k-1)! (99-(k-1))!}=100\sum_{k=2}^{100}{99\choose k-1}\\=100\sum_{k=1}^{99}{99\choose k}=100\left(-1+\sum_{k=0}^{99}{99\choose k}1^{k}1^{99-k}\right)=100\cdot \left(2^{99}-1\right)}\)
wszak (wzór dwumianowy Newtona)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^{n}}\)