Cześć,
bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania..
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} k \cdot{100 \choose k} }\)
Będę wdzięczna za każdą pomoc!
Suma szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 7 gru 2015, o 14:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Suma szeregu
Ostatnio zmieniony 21 paź 2019, o 22:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Suma szeregu
Możesz też rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=2}^{100} {100 \choose k} x^k }\), \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Można pokombinować ze wzorem dwumianowym i zapisać wzór tej funkcji o wiele prościej. Jak już to zrobisz to zastanów się jak wygląda pochodna tej funkcji i jak można to powiązać z zadaniem.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 7 gru 2015, o 14:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Re: Suma szeregu
Przepraszam, dwumian Newtona? Chyba mnie przerosło to zadanie jednak. :/
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} k \cdot{100 \choose k} = \sum_{k=2}^{100} k \frac{n!}{k! (n-k)!} = \sum_{k=2}^{100} \frac{n!}{(k-1)! (n-k)!} }\)
doszłam do czegoś takiego ale chyba niezbyt dobrze, bo jeżeli teraz chcę obliczyć tą sumę to dla k=0 w mianowniku pierwszy nawias wychodzi ujemny i nie wiem już jak to zadanie ugryźć..
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100} k \cdot{100 \choose k} = \sum_{k=2}^{100} k \frac{n!}{k! (n-k)!} = \sum_{k=2}^{100} \frac{n!}{(k-1)! (n-k)!} }\)
doszłam do czegoś takiego ale chyba niezbyt dobrze, bo jeżeli teraz chcę obliczyć tą sumę to dla k=0 w mianowniku pierwszy nawias wychodzi ujemny i nie wiem już jak to zadanie ugryźć..
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Suma szeregu
Ale przecież nie interesuje Cię \(\displaystyle{ k=0}\), skoro suma zaczyna się od \(\displaystyle{ k=2\ldots}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100}\frac{100!}{(k-1)!(100-k)!}=100\sum_{k=2}^{100}\frac{99!}{(k-1)! (99-(k-1))!}=100\sum_{k=2}^{100}{99\choose k-1}\\=100\sum_{k=1}^{99}{99\choose k}=100\left(-1+\sum_{k=0}^{99}{99\choose k}1^{k}1^{99-k}\right)=100\cdot \left(2^{99}-1\right)}\)
wszak (wzór dwumianowy Newtona)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{100}\frac{100!}{(k-1)!(100-k)!}=100\sum_{k=2}^{100}\frac{99!}{(k-1)! (99-(k-1))!}=100\sum_{k=2}^{100}{99\choose k-1}\\=100\sum_{k=1}^{99}{99\choose k}=100\left(-1+\sum_{k=0}^{99}{99\choose k}1^{k}1^{99-k}\right)=100\cdot \left(2^{99}-1\right)}\)
wszak (wzór dwumianowy Newtona)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^{n}}\)