Kombinatoryka - liczby fibonacciego

[Gosda]

Co ciekawe, ciąg ten jest bardzo podobny do ciągu Fibonaciego

Sorki, ja tego podobieństwa nie widzę.

Nadal nie wiem jaki związek z zadaniem ma wskazówka o liczbach Fibonacciego.

Dodano po 28 minutach 20 sekundach:
Może taki
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{2}F_{3n+3} }\)

Ewentualnie BarbarBarabasz miał na zajęciach wyprowadzony wzór Bineta, po czym został poproszony o przeprowadzenie podobnego rozumowania dla innego równania rekurencyjnego. Stąd moja wskazówka wyżej.

[kerajs]

3 zł = 65 możliwości

A dlaczego nie?
Dla 3 zł, możemy kupić 3 lody o czterech różnych smakach, która mogą się powtarzać, co daje \(\displaystyle{ 4\cdot 4\cdot 4}\), chyba że źle to interpretuje,

Dlatego, że prócz jednego batona kupujesz także loda (na cztery sposoby). Musisz także uwzględnić kolejność ich kupowania (gdyż kupowane są w różne dni). Stąd:
\(\displaystyle{ a_3=4 \cdot 4 \cdot 4+1 \cdot 4+4 \cdot 1 \neq 65 }\)


PS
Wskazówkę o liczbach Fibonacciego rozumiem dosłownie ( Istnieje związek rozwiązania z liczbami 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ), ale nie wiem jak ma to ułatwić rozwiązanie zadania.

[BarbarBarabasz]

Wzoru Bineta nie miałem.
Może to pomoże trochę, na zajęciach, profesor po wyjaśnieniu czym są liczby Fibonaciego oraz omówienia "myślenia rekurencyjnego", przedstawił nam pewne zadanie które brzmiało:
"Na ile sposobów, można wejść na \(\displaystyle{ n}\)-ty schodek schodów, po schodach można wchodzić po jednym stopniu lub (przeskakując jeden) po dwa stopnie."
Wzór na rozwiązanie tego zadania był taki: \(\displaystyle{ s(n) = s(n –1) + s(n – 2)}\) dla \(\displaystyle{ n > 2}\)
Z tego co widzę, to na forum takie same zadanie pojawiło się 8 lat temu.
viewtopic.php?t=266113

[kerajs]

Z tego co widzę, to na forum takie same zadanie pojawiło się 8 lat temu.
viewtopic.php?t=266113

To zupełnie inne zadanie.

Może to pomoże trochę ...

A jakiej pomocy jeszcze oczekujesz, skoro wynik masz podany na cztery sposoby?

PS
Poprawne stałe w równaniu rekurencyjnym jednorodnym liniowym to:
\(\displaystyle{ K_1= \frac{5-2 \sqrt{5} }{10} \ \ \wedge K_2= \frac{5+2 \sqrt{5} }{10} }\)

[BarbarBarabasz]

Okej, podstawiłem K1 i K2 do ciągu, który ostatecznie wygląda tak:
\(\displaystyle{ a_{n} = -\frac{5-2 \sqrt{5} }{10} (2-\sqrt{5})^{n} + \frac{5+2 \sqrt{5} }{10} (2+\sqrt{5})^{n}. }\)

Przy wartości \(\displaystyle{ a_{n} = 2 }\), suma ciągu to 17. Dla 3 daje 72.

Nie rozumiem tylko jednego, i prośba czy ktoś mógłby mi to łopatologicznie wytłumaczyć, dlaczego dla 3 zł, wynik to 72, a nie 65...
Ja myślę o tym w taki sposób, skoro możemy kupić 3 lody, w 4 różnych smakach, plus tylko jednego batona, to powinno dać nam równanie 4*4*4 + 1 = 64 +1 = 65
Za 3 zł, kupujemy 3 lody, do wyboru mamy 4 smaki, stąd to mnożenie 4 przez ilość lodów do kupienia, do tego możemy kupić batona, stąd 3 zł możemy wydać właśnie na 65 sposobów. Nie mogę w sposób żadnych obliczeń dojść do liczby 72...