Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2, \cdots , x_n>0}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{1 \leq i,j \leq n} |1-x_ix_j|=\sum_{1 \leq i,j \leq n} |x_i-x_j|.}\) Pokaż że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n x_i = n.}\)

Być może się mylę, ale jeżeli wszystkie czynniki są równe \(\displaystyle{ 1}\), to nie jest to prawda.

Bran pisze: ↑10 paź 2019, o 20:55 Być może się mylę, ale jeżeli wszystkie czynniki są równe \(\displaystyle{ 1}\), to nie jest to prawda.

Dlaczego?

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑10 paź 2019, o 22:23 Dlaczego?

Chyba dlatego, że za mało spałem. Ubzdurałem sobie, ze ta końcowa suma w twierdzeniu jest równa \(\displaystyle{ 1}\) i dlatego.
Przepraszam wszystkich, których mogłem wprowadzić w błąd. I co gorsze, chyba nie umiem pomóc

Chciałem bardziej pokazać pomysł z bardzo małą ilością fajerwerków, i nie będzie to rozwiązanie tylko pewna sugestia i jakiś tam pomysł...

Ponieważ nie chce mi się działać na n niewiadomych, wezmę tylko dwie niewiadome...x,y

Stwórzmy funkcję taką jak w zadaniu:

\(\displaystyle{ f=2\left( |1-xy|\right) +|1-x^2|+|1-y^2|-2|x-y|}\)

zakładamy, że.: \(\displaystyle{ x,y \neq 1 \wedge xy \neq 1}\)

Posłużmy się rachunkiem różniczkowym, zastosuję wzór:

\(\displaystyle{ \left( |f|\right)'=f' \cdot \frac{f}{|f|} }\)

\(\displaystyle{ f'_{x}=-2y \frac{1-xy}{|1-xy|} -2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|}-2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)

\(\displaystyle{ f'_{y}=-2x \frac{1-xy}{|1-xy|} -2y \frac{1-y^2}{|1-y^2|}+2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)

Można zapisać to krócej:

\(\displaystyle{ yi_{1}+xi_{2}+i_{3}=0}\)

\(\displaystyle{ yi_{4}+xi_{1}-i_{3}=0}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ i_{1}=\frac{1-xy}{|1-xy|} , i_{2}=\frac{1-x^2}{|1-x^2|} , i_{3}=\frac{x-y}{|x-y|} , i_{4}=\frac{1-y^2}{|1-y^2|}= \pm 1}\)

z tego liczmy x,y

\(\displaystyle{ x= \frac{i_{1}i_{3}+i_{3}i_{4}}{1-i_{2}} }\)

\(\displaystyle{ y=-x \frac{i_{2}}{i_{1}}- \frac{i_{3}}{i_{1}} }\)

jak widać:

\(\displaystyle{ i_{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ i_{1}=i_{4}=-1 \wedge i_{3}=-1 \vee i_{1}=i_{4}=1 \wedge i_{3}=1}\)

Oczywiście sprzeczność bo wtedy.: \(\displaystyle{ x=1 , y=-2 \vee 0}\)

Układ równań nie ma rozwiązania więc brak extremum..

teraz załóżmy, że:

\(\displaystyle{ xy=1 , x \neq 1}\)

funkcja przyjmie postać:

\(\displaystyle{ f=|1-x^2|+|1- \frac{1}{x^2} |-2|x- \frac{1}{x}| }\)

\(\displaystyle{ f'(x)=-2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|} +2 \frac{1}{x^3} \frac{x^2-1}{|x^2-1|} - \frac{2}{x^2}\frac{x^2-1}{|x^2-1|} }\)

lub:

\(\displaystyle{ f'(x)=-2xi- \frac{2}{x^3}i+ \frac{2}{x^2}i }\)

Badanie tego prowadzi do funkcji:

\(\displaystyle{ x^4-x+1}\)

Lecz funkcja ta dla\(\displaystyle{ x>0}\) leży ponad osią OX

Zostaje nam ostatni przypadek, gdzie:

\(\displaystyle{ x=1}\)

wtedy:

\(\displaystyle{ f=2|1-y|+|1-y||1+y|-2|1-y|}\)

prościej:

\(\displaystyle{ f=|1-y^2|}\)

co minimum jest dla:

\(\displaystyle{ x=1, y=1}\)

i wtedy\(\displaystyle{ 1+1=2}\) co daje tezę...

Podobnie będzie pewnie się działo dla większej ilości zmiennych...

Nie ma to jak różniczkowac nierozniczkowalne funkcje

Tak ale ja różniczkuję w punktach tam gdzie funkcja jest różniczkowalna co zakładam , pomijam wyraźnie punkty w których jest nieróżniczkowalna, czyli:

tam gdzie.: \(\displaystyle{ x=1,y=1, xy=1}\)...

Funkcja nie jest wszędzie nieróżniczkowalna , nie jest żadną fraktalną funkcją...

Ja najpierw szukam extremum tam gdzie funkcja jest różniczkowalna...

A jaki sens ma szukanie ekstremum tej funkcji?

PIszesz wielokrotnie "co daje tezę" ale nie piszesz jaką tezę chcesz udowodnić.

"Oczywiście sprzeczność" - ale z czym? itd itp.

JK nie raz pisał na tym forum, że rozwiązanie zadania nie polega na napisaniu ściany znaczków.
Gdybyś zechciał opisać swój pomysł, to wszystkim by się to lepiej czytało.

Szczerze Ci powiem, że ten pomysł też mi się nie podoba jest mało efektywny i niewidowiskowy, ale rzucę jaką miałem idee i co mi przyświecało a mianowicie:

Najpierw badałem minimum funkcji w punktach różniczkowalnych a skoro tam minimum nie znalazłem szukałem ręcznie w punktach nieróżniczkowalności ,
i tam znajdowałem w jedynkach co dawało tezę, ale pomysł też nie uważam za świetny...

Ale przecież masz w założeniu, żę ta funkcja ma się równać zeru, więc szukanie jej ekstremów nic nie daje

W sumie masz racje kiepski pomysł, choć miałem jeszcze co inne na myśli...

Generalnie chodziło mi o to , że funkcja ta jest zawsze większa od zera z wyjątkiem:

\(\displaystyle{ x_{i}=1}\) minimum tej funkcji pokrywa się z jej miejscem zerowym...

Dodano po 20 minutach 37 sekundach:
Idea moja polegała na tym żeby wykazać, że miejsce zerowe pokrywa się z minimum funkcji...