suma n-czynników

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 3 razy

suma n-czynników

Post autor: ann_u » 9 paź 2019, o 21:50

Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2, \cdots , x_n>0}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{1 \leq i,j \leq n} |1-x_ix_j|=\sum_{1 \leq i,j \leq n} |x_i-x_j|.}\) Pokaż że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n x_i = n.}\)

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 10 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: Bran » 10 paź 2019, o 20:55

Być może się mylę, ale jeżeli wszystkie czynniki są równe \(\displaystyle{ 1}\), to nie jest to prawda.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25099
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4183 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: Jan Kraszewski » 10 paź 2019, o 22:23

Bran pisze:
10 paź 2019, o 20:55
Być może się mylę, ale jeżeli wszystkie czynniki są równe \(\displaystyle{ 1}\), to nie jest to prawda.
Dlaczego?

JK

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 10 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: Bran » 12 paź 2019, o 14:07

Jan Kraszewski pisze:
10 paź 2019, o 22:23
Dlaczego?
Chyba dlatego, że za mało spałem. Ubzdurałem sobie, ze ta końcowa suma w twierdzeniu jest równa \(\displaystyle{ 1}\) i dlatego.
Przepraszam wszystkich, których mogłem wprowadzić w błąd. I co gorsze, chyba nie umiem pomóc :oops:

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3722
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 359 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: arek1357 » 17 paź 2019, o 21:07

Chciałem bardziej pokazać pomysł z bardzo małą ilością fajerwerków, i nie będzie to rozwiązanie tylko pewna sugestia i jakiś tam pomysł...

Ponieważ nie chce mi się działać na n niewiadomych, wezmę tylko dwie niewiadome...x,y

Stwórzmy funkcję taką jak w zadaniu:

\(\displaystyle{ f=2\left( |1-xy|\right) +|1-x^2|+|1-y^2|-2|x-y|}\)

zakładamy, że.: \(\displaystyle{ x,y \neq 1 \wedge xy \neq 1}\)

Posłużmy się rachunkiem różniczkowym, zastosuję wzór:

\(\displaystyle{ \left( |f|\right)'=f' \cdot \frac{f}{|f|} }\)

\(\displaystyle{ f'_{x}=-2y \frac{1-xy}{|1-xy|} -2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|}-2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)

\(\displaystyle{ f'_{y}=-2x \frac{1-xy}{|1-xy|} -2y \frac{1-y^2}{|1-y^2|}+2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)

Można zapisać to krócej:

\(\displaystyle{ yi_{1}+xi_{2}+i_{3}=0}\)

\(\displaystyle{ yi_{4}+xi_{1}-i_{3}=0}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ i_{1}=\frac{1-xy}{|1-xy|} , i_{2}=\frac{1-x^2}{|1-x^2|} , i_{3}=\frac{x-y}{|x-y|} , i_{4}=\frac{1-y^2}{|1-y^2|}= \pm 1}\)

z tego liczmy x,y

\(\displaystyle{ x= \frac{i_{1}i_{3}+i_{3}i_{4}}{1-i_{2}} }\)

\(\displaystyle{ y=-x \frac{i_{2}}{i_{1}}- \frac{i_{3}}{i_{1}} }\)

jak widać:

\(\displaystyle{ i_{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ i_{1}=i_{4}=-1 \wedge i_{3}=-1 \vee i_{1}=i_{4}=1 \wedge i_{3}=1}\)

Oczywiście sprzeczność bo wtedy.: \(\displaystyle{ x=1 , y=-2 \vee 0}\)

Układ równań nie ma rozwiązania więc brak extremum..

teraz załóżmy, że:

\(\displaystyle{ xy=1 , x \neq 1}\)

funkcja przyjmie postać:

\(\displaystyle{ f=|1-x^2|+|1- \frac{1}{x^2} |-2|x- \frac{1}{x}| }\)

\(\displaystyle{ f'(x)=-2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|} +2 \frac{1}{x^3} \frac{x^2-1}{|x^2-1|} - \frac{2}{x^2}\frac{x^2-1}{|x^2-1|} }\)

lub:

\(\displaystyle{ f'(x)=-2xi- \frac{2}{x^3}i+ \frac{2}{x^2}i }\)

Badanie tego prowadzi do funkcji:

\(\displaystyle{ x^4-x+1}\)

Lecz funkcja ta dla\(\displaystyle{ x>0}\) leży ponad osią OX

Zostaje nam ostatni przypadek, gdzie:

\(\displaystyle{ x=1}\)

wtedy:

\(\displaystyle{ f=2|1-y|+|1-y||1+y|-2|1-y|}\)

prościej:

\(\displaystyle{ f=|1-y^2|}\)

co minimum jest dla:

\(\displaystyle{ x=1, y=1}\)

i wtedy\(\displaystyle{ 1+1=2}\) co daje tezę...

Podobnie będzie pewnie się działo dla większej ilości zmiennych...
Ostatnio zmieniony 17 paź 2019, o 21:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16848
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: a4karo » 17 paź 2019, o 22:07

Nie ma to jak różniczkowac nierozniczkowalne funkcje ;)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3722
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 359 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: arek1357 » 17 paź 2019, o 22:12

Tak ale ja różniczkuję w punktach tam gdzie funkcja jest różniczkowalna co zakładam , pomijam wyraźnie punkty w których jest nieróżniczkowalna, czyli:

tam gdzie.: \(\displaystyle{ x=1,y=1, xy=1}\)...

Funkcja nie jest wszędzie nieróżniczkowalna , nie jest żadną fraktalną funkcją...

Ja najpierw szukam extremum tam gdzie funkcja jest różniczkowalna...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16848
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: a4karo » 18 paź 2019, o 06:28

A jaki sens ma szukanie ekstremum tej funkcji?

PIszesz wielokrotnie "co daje tezę" ale nie piszesz jaką tezę chcesz udowodnić.

"Oczywiście sprzeczność" - ale z czym? itd itp.

JK nie raz pisał na tym forum, że rozwiązanie zadania nie polega na napisaniu ściany znaczków.
Gdybyś zechciał opisać swój pomysł, to wszystkim by się to lepiej czytało.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3722
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 359 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: arek1357 » 18 paź 2019, o 09:08

Szczerze Ci powiem, że ten pomysł też mi się nie podoba jest mało efektywny i niewidowiskowy, ale rzucę jaką miałem idee i co mi przyświecało a mianowicie:

Najpierw badałem minimum funkcji w punktach różniczkowalnych a skoro tam minimum nie znalazłem szukałem ręcznie w punktach nieróżniczkowalności ,
i tam znajdowałem w jedynkach co dawało tezę, ale pomysł też nie uważam za świetny...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16848
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: a4karo » 18 paź 2019, o 10:07

Ale przecież masz w założeniu, żę ta funkcja ma się równać zeru, więc szukanie jej ekstremów nic nie daje

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3722
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 359 razy

Re: suma n-czynników

Post autor: arek1357 » 18 paź 2019, o 12:02

W sumie masz racje kiepski pomysł, choć miałem jeszcze co inne na myśli...

ODPOWIEDZ