Rozmieszczenie w pudełkach, przy założeniu, że żadne nie jest puste.
: 5 paź 2019, o 20:01
Witam.
Treść zadania brzmi tak:
Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ k}\) rozróżnialnych kul w \(\displaystyle{ n}\) oznaczonych pudełkach przy założeniu, że żadne pudełko nie jest puste?
Były juz takie zadania na internecie, ale bez generalizacji na \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\), oraz zazwyczaj posty są bez odpowiedzi.
Moje podejście do tematu:
Najpierw wybieramy \(\displaystyle{ n}\) kul, po jednej do każdego pudełka, aby żadne nie było puste:
\(\displaystyle{ k \choose n }\)
Kule w pudełkach mozemy zamieniać miejscami na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów.
Po tym kroku w każdym pudełku znajduje się jedna kula, a do dystrybucji pozostało jeszcze \(\displaystyle{ k-n}\) kul.
Każdą z \(\displaystyle{ k-n}\) kul możemy włożyć do dowolnego pojemnika - na \(\displaystyle{ n}\) sposobów:
\(\displaystyle{ (k-n)^{n} }\)
Koniec końców, liczba takich kombinacji wynosi:
\(\displaystyle{ {k \choose n} \cdot n! \cdot (k-n)^{n}}\)
Czy jest to poprawna odpowiedź? Jeśli nie, gdzie jest bląd w moim rozumowaniu?
Treść zadania brzmi tak:
Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ k}\) rozróżnialnych kul w \(\displaystyle{ n}\) oznaczonych pudełkach przy założeniu, że żadne pudełko nie jest puste?
Były juz takie zadania na internecie, ale bez generalizacji na \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\), oraz zazwyczaj posty są bez odpowiedzi.
Moje podejście do tematu:
Najpierw wybieramy \(\displaystyle{ n}\) kul, po jednej do każdego pudełka, aby żadne nie było puste:
\(\displaystyle{ k \choose n }\)
Kule w pudełkach mozemy zamieniać miejscami na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów.
Po tym kroku w każdym pudełku znajduje się jedna kula, a do dystrybucji pozostało jeszcze \(\displaystyle{ k-n}\) kul.
Każdą z \(\displaystyle{ k-n}\) kul możemy włożyć do dowolnego pojemnika - na \(\displaystyle{ n}\) sposobów:
\(\displaystyle{ (k-n)^{n} }\)
Koniec końców, liczba takich kombinacji wynosi:
\(\displaystyle{ {k \choose n} \cdot n! \cdot (k-n)^{n}}\)
Czy jest to poprawna odpowiedź? Jeśli nie, gdzie jest bląd w moim rozumowaniu?