funkcja tworząca - znajdowanie wzoru

[rhav]

znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ a_n}\) za pomocą funkcji tworzących:

\(\displaystyle{ a_0=25\\
a_n=3a_{n-1} +14n-49 \ \mbox{ dla }\ n \ge 1}\)

o ile ogarniam przykłady gdzie mamy \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) i \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) o tyle tego kompletnie nie rozumiem.
Pomoże ktoś?

[Premislav]

\(\displaystyle{ a_n=3a_{n-1}+14n-49\\\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n=3\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^n+14\sum_{n=1}^{\infty}nx^n-49\sum_{n=1}^{\infty}x^n}}\)
Niech \(\displaystyle{ G(x)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n}}\). Mamy wówczas z powyższego:
\(\displaystyle{ G(x)-a_0=3xG(x)+\displaystyle{14\sum_{n=1}^{\infty}nx^n-49\sum_{n=1}^{\infty}x^n}}\)
ale
\(\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} x^n=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}x^n\\=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^2}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}}}\)
(oczywiście obie równości zachodzą dla \(\displaystyle{ |x|<1}\)).
Mamy więc, uwzględniając \(\displaystyle{ a_0=25}\),
\(\displaystyle{ G(x)(1-3x)=\displaystyle{25+\frac{14x}{(1-x)^2}-\frac{49}{1-x}}}\)
i z tym chyba wiadomo, co zrobić. Wyznaczasz z tego
\(\displaystyle{ G(x)}\), rozwijasz w szeregi po rozłożeniu na ułamki proste, sprawdzasz współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) i to jest Twoje \(\displaystyle{ a_n.}\)

[Premislav]

Sorry, oczywiście
\(\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}} }\), reszta jest dobrze. Nie mogę już edytować. W każdym razie rozłożenie tego na ułamki i rozwinięcie w szeregi potęgowe zostawiam Tobie.

[rhav]

ok, dzięki!