Dla dowolnego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, n \}}\) określona jest funkcja \(\displaystyle{ w_A : \{ -1, 1 \}^n \mapsto R}\) że \(\displaystyle{ w_A(x_1,…,x_n)= \prod_{j \in A} x_j}\).
Udowodnić, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f: \{ -1, 1 \}^n \mapsto R}\) istnieją liczby \(\displaystyle{ a_A}\) takie, iż \(\displaystyle{ f = \sum_{A \subset \{1,…,n \}} a_Aw_A}\)
Niech także dla takich \(\displaystyle{ f}\) określone jest \(\displaystyle{ L f(x_1,…,x_n) = \frac{1}{n} (f(-x_1,…,x_n) + f(x_1, -x_2,…,x_n) +…+ f(x_1,…,-x_n))}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ Lw_A =(1- \frac{2}{n}m(A)) w_A}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ m(A)}\) to liczność zbioru \(\displaystyle{ A}\)
Na zbiorze \(\displaystyle{ V}\) wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : \{ -1, 1 \}^n \to \RR}\) w standardowy sposób można zadać strukturę przestrzeni liniowej. Pierwsza część zadania w istocie polega na wykazaniu, że zbiór \(\displaystyle{ \{ w_A : A \subseteq [n] \}}\) generuje \(\displaystyle{ V}\).
Oczywiste jest więc, że \(\displaystyle{ \left\{ \delta_{\overline{x}} : \overline{x} \in \{ -1, 1 \}^n \right\}}\) generuje \(\displaystyle{ V}\), a stąd wprost wynika teza.
Druga część: dla dowolnego \(\displaystyle{ \overline{x}}\) mamy