Dany jest klocek w kształcie graniastosłupa trójkątnego prawidłowego. Na ile istotnie różnych sposobów (uwzględniamy tylko obroty) można pomalować jednocześnie jego wierzchołki i ściany mając do dyspozycji \(\displaystyle{ 5}\) kolorów?
Jak to zrobić?
Dany jest klocek
-
VirtualUser
- Użytkownik
- Posty: 443
- Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 113 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Dany jest klocek
Fajnie gdyby ktoś to sprawdził:
Wypisujemy cykle dla wierzchołków i ścian:
Wierzchołki:
Kolejno id, rotacja o 120 stopni (x2), środki krawędzi (x6)
\(\displaystyle{ [a][c][d]}\)
-------------
\(\displaystyle{ [a][bcd]}\)
-------------
\(\displaystyle{ [ab][cd]}\)
To samo wychodzi dla ścian. Korzystamy z lematu burnside:
\(\displaystyle{ n = \frac{2}{9} \cdot \left( 5^4 + 5^2 + 5^2 \right) = 150}\)-- 6 sie 2019, o 17:42 --
eeee, to wszystko co napisałem jest bzdurą. Nie ta figura (xd). Tak więc:
ściany:
-Identyczność 5 cyklów jednoelementowych
- 3x obroty wzgl. osi śr ścian - śr krawędzi - 2 cykle dru elementowe, jeden 1-elementowy
- 2x obroty 120 stopni oś pionowa (powiedzmy...) - 2 cykle jedno elementowe, jeden 3-elementowy
krawędzie:
kolejność jak wcześciej
- 6 cykli jednoelementowych
- 3 cykle 2-elem.
- 2 cykle 3-elem.
Ostatecznie wychodzi:
Wypisujemy cykle dla wierzchołków i ścian:
Wierzchołki:
Kolejno id, rotacja o 120 stopni (x2), środki krawędzi (x6)
\(\displaystyle{ [a][c][d]}\)
-------------
\(\displaystyle{ [a][bcd]}\)
-------------
\(\displaystyle{ [ab][cd]}\)
To samo wychodzi dla ścian. Korzystamy z lematu burnside:
\(\displaystyle{ n = \frac{2}{9} \cdot \left( 5^4 + 5^2 + 5^2 \right) = 150}\)-- 6 sie 2019, o 17:42 --
VirtualUser pisze:Fajnie gdyby ktoś to sprawdził:
Wypisujemy cykle dla wierzchołków i ścian:
Wierzchołki:
Kolejno id, rotacja o 120 stopni (x2), środki krawędzi (x6)
\(\displaystyle{ [a][c][d]}\)
-------------
\(\displaystyle{ [a][bcd]}\)
-------------
\(\displaystyle{ [ab][cd]}\)
To samo wychodzi dla ścian. Korzystamy z lematu burnside:
\(\displaystyle{ n = \frac{2}{9} \cdot \left( 5^4 + 5^2 + 5^2 \right) = 150}\)
eeee, to wszystko co napisałem jest bzdurą. Nie ta figura (xd). Tak więc:
ściany:
-Identyczność 5 cyklów jednoelementowych
- 3x obroty wzgl. osi śr ścian - śr krawędzi - 2 cykle dru elementowe, jeden 1-elementowy
- 2x obroty 120 stopni oś pionowa (powiedzmy...) - 2 cykle jedno elementowe, jeden 3-elementowy
krawędzie:
kolejność jak wcześciej
- 6 cykli jednoelementowych
- 3 cykle 2-elem.
- 2 cykle 3-elem.
Ostatecznie wychodzi:
Kod: Zaznacz cały
>>> 1/6*(5**11 + 2*5**3 * 5**2 + 3* 5**6)
8146875.0