Matematyka.pl

\(\displaystyle{ y_{n+1} -3y _{n} = 2 \cdot 9 ^{n}}\)

Rozpatrujemy równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ y_{n+1} -3y _{n} =0}\)

\(\displaystyle{ y _{n+1} = 3 \cdot y _{n}}\)

I teraz nie rozumiem tych przekształceń poniżej.

\(\displaystyle{ 3^{2} \cdot y _{n-1} = 3 ^{3} \cdot y_{n-2}= 3 \cdot 3 \cdot ... \cdot 3 \cdot y _{0} =
3 ^{n+1} \cdot y _{0} = C \cdot 3 ^{n+1}}\) stąd \(\displaystyle{ y_{n} = C \cdot 3 ^{n}}\)

Czy mógłby ktoś w dość "przystępny" sposób wytłumaczyć te przekształcenia?

Wzór

\(\displaystyle{ y _{n+1} = 3 \cdot y _{n}}\)

określa zależność następnika od poprzednika dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) więc prawdą jest, że:

\(\displaystyle{ y _{n+1} = 3 \cdot {\green{y _{n}}}}\)

oraz

\(\displaystyle{ {\green{y _{n}}} = {\red{3 \cdot y _{n-1}}}}\)

zatem \(\displaystyle{ y_{n+1}=3 \cdot \left( {\red{3 \cdot y _{n-1}}} \right)}\)

ale z kolei \(\displaystyle{ y _{n-1}=3y_{n-2}}\) itd. czynność tą powtarzasz aż do otrzymania \(\displaystyle{ y_n=3 \cdot 3 \cdot ... \cdot 3y_0=3^ny_0}\). Gdzie \(\displaystyle{ y_0}\) jest pewnym warunkiem początkowym tej rekurencji można powiedzieć że jest to jakaś stała \(\displaystyle{ C\in\RR}\).