Równanie różnicowe - matematyka dyskretna
: 5 lip 2019, o 14:23
Cześć,
Nie rozumiem czemu Profesor użył innej metody w tym zadaniu, mógłby mi ktoś wytłumaczyć?
Przykład:
\(\displaystyle{ \Delta y _{n} = n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta^{-1} \Delta y _{n} = \Delta^{-1} \left( n ^{2} \right) = \sum_{k=1}^{n-1} k^{2} + C = 1^{2} + 2^{2} + 3 ^{2} + ... + \left( n-1 \right) ^{2} + C}\)
No i wcześniej robiliśmy to przy użyciu wzoru na sumę ciągu art. czyli byłoby:
\(\displaystyle{ \frac{ 1^{2} + \left( n-1 \right)^{2} }{2} \cdot \left( n-1\right) + C}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( n^{2} -2n + 2 \right)\left( n-1\right) + C}\)
a Profesor tym razem użył nie wiem skąd takiej równości że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n \left( n+1\right) \left( 2n + 1\right)}\)
Skąd to się wzięło i czy robiąc jednak tą starą metodą na sumę ciągu art. zadanie zostałoby poprawnie rozwiązane?
Z góry dziękuję za pomoc.
Nie rozumiem czemu Profesor użył innej metody w tym zadaniu, mógłby mi ktoś wytłumaczyć?
Przykład:
\(\displaystyle{ \Delta y _{n} = n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta^{-1} \Delta y _{n} = \Delta^{-1} \left( n ^{2} \right) = \sum_{k=1}^{n-1} k^{2} + C = 1^{2} + 2^{2} + 3 ^{2} + ... + \left( n-1 \right) ^{2} + C}\)
No i wcześniej robiliśmy to przy użyciu wzoru na sumę ciągu art. czyli byłoby:
\(\displaystyle{ \frac{ 1^{2} + \left( n-1 \right)^{2} }{2} \cdot \left( n-1\right) + C}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( n^{2} -2n + 2 \right)\left( n-1\right) + C}\)
a Profesor tym razem użył nie wiem skąd takiej równości że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n \left( n+1\right) \left( 2n + 1\right)}\)
Skąd to się wzięło i czy robiąc jednak tą starą metodą na sumę ciągu art. zadanie zostałoby poprawnie rozwiązane?
Z góry dziękuję za pomoc.