Cześć,
Nie rozumiem czemu Profesor użył innej metody w tym zadaniu, mógłby mi ktoś wytłumaczyć?
Przykład:
\(\displaystyle{ \Delta y _{n} = n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta^{-1} \Delta y _{n} = \Delta^{-1} \left( n ^{2} \right) = \sum_{k=1}^{n-1} k^{2} + C = 1^{2} + 2^{2} + 3 ^{2} + ... + \left( n-1 \right) ^{2} + C}\)
No i wcześniej robiliśmy to przy użyciu wzoru na sumę ciągu art. czyli byłoby:
\(\displaystyle{ \frac{ 1^{2} + \left( n-1 \right)^{2} }{2} \cdot \left( n-1\right) + C}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( n^{2} -2n + 2 \right)\left( n-1\right) + C}\)
a Profesor tym razem użył nie wiem skąd takiej równości że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n \left( n+1\right) \left( 2n + 1\right)}\)
Skąd to się wzięło i czy robiąc jednak tą starą metodą na sumę ciągu art. zadanie zostałoby poprawnie rozwiązane?
Z góry dziękuję za pomoc.
Równanie różnicowe - matematyka dyskretna
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna
Jest dużo sposobów na wyznaczenie jawnie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}}\). Można na przykład zgadnąć wzór a potem udowodnić go indukcyjnie. Można też założyć, że suma kwadratów będzie porównywalna wielkością do wielomianu \(\displaystyle{ 3}\) stopnia (heurystyka do \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n\sim n^2}\)) a następnie wyznaczyć współczynniki ów wielomianu następnie zakończyć indukcją. Można też policzyć
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{n}\left( (k+1)^3-k^3\right)}\)
na dwa sposoby jako sumę teleskopową i normalnie jako sumę sum. Temat ten jednak wraca jak bumerang więc na forum jest już niezły zbiór innych metod pozwalających wyznaczyć tą sumę klik
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{n}\left( (k+1)^3-k^3\right)}\)
na dwa sposoby jako sumę teleskopową i normalnie jako sumę sum. Temat ten jednak wraca jak bumerang więc na forum jest już niezły zbiór innych metod pozwalających wyznaczyć tą sumę klik
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna
Czy Twoim zdaniem ciąg: \(\displaystyle{ 1^2 ,2^2,3^2.......}\) jest arytmetyczny ?
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna
No to na jakiej podstawie miałby Profesor zastosować wzór na sumę ciągu arytmetycznego ?
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna
Nie musiałeś zadawać już tego drugiego pytania. w 100% Cię zrozumiałem.
To masz ew. jakieś sugestie jak zostało wyprowadzone to o czym napisał Profesor?
To masz ew. jakieś sugestie jak zostało wyprowadzone to o czym napisał Profesor?