Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Post autor: Makoszet » 5 lip 2019, o 14:23

Cześć,

Nie rozumiem czemu Profesor użył innej metody w tym zadaniu, mógłby mi ktoś wytłumaczyć?
Przykład:
\(\displaystyle{ \Delta y _{n} = n ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \Delta^{-1} \Delta y _{n} = \Delta^{-1} \left( n ^{2} \right) = \sum_{k=1}^{n-1} k^{2} + C = 1^{2} + 2^{2} + 3 ^{2} + ... + \left( n-1 \right) ^{2} + C}\)

No i wcześniej robiliśmy to przy użyciu wzoru na sumę ciągu art. czyli byłoby:

\(\displaystyle{ \frac{ 1^{2} + \left( n-1 \right)^{2} }{2} \cdot \left( n-1\right) + C}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( n^{2} -2n + 2 \right)\left( n-1\right) + C}\)

a Profesor tym razem użył nie wiem skąd takiej równości że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n \left( n+1\right) \left( 2n + 1\right)}\)

Skąd to się wzięło i czy robiąc jednak tą starą metodą na sumę ciągu art. zadanie zostałoby poprawnie rozwiązane?

Z góry dziękuję za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2907
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 958 razy

Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Post autor: Janusz Tracz » 5 lip 2019, o 14:32

Jest dużo sposobów na wyznaczenie jawnie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}}\). Można na przykład zgadnąć wzór a potem udowodnić go indukcyjnie. Można też założyć, że suma kwadratów będzie porównywalna wielkością do wielomianu \(\displaystyle{ 3}\) stopnia (heurystyka do \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n\sim n^2}\)) a następnie wyznaczyć współczynniki ów wielomianu następnie zakończyć indukcją. Można też policzyć

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{n}\left( (k+1)^3-k^3\right)}\)

na dwa sposoby jako sumę teleskopową i normalnie jako sumę sum. Temat ten jednak wraca jak bumerang więc na forum jest już niezły zbiór innych metod pozwalających wyznaczyć tą sumę klik

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Post autor: Belf » 5 lip 2019, o 14:36

Czy Twoim zdaniem ciąg: \(\displaystyle{ 1^2 ,2^2,3^2.......}\) jest arytmetyczny ?

Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Post autor: Makoszet » 5 lip 2019, o 14:53

Nie.

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Post autor: Belf » 5 lip 2019, o 14:56

No to na jakiej podstawie miałby Profesor zastosować wzór na sumę ciągu arytmetycznego ?

Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Post autor: Makoszet » 5 lip 2019, o 14:57

Nie musiałeś zadawać już tego drugiego pytania. w 100% Cię zrozumiałem.

To masz ew. jakieś sugestie jak zostało wyprowadzone to o czym napisał Profesor?

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Równanie różnicowe - matematyka dyskretna

Post autor: Belf » 5 lip 2019, o 14:59

Popatrz tutaj: https://mathschallenge.net/library/numb ... of_squares

ODPOWIEDZ