Liczba rozmieszczeń k elementów w n grupach

[StuFfii]

Problem: liczba rozmieszczeń \(\displaystyle{ k}\) elementów w \(\displaystyle{ n}\) grupach.

Założenia są następujące:
>przedmioty są nierozróżnialne
>grupy są rozróżnialne
>w każdej grupie muszą być przynajmniej 2 elementy
>nie można korzystać z liczb Stirlinga


Walczę z tym zadaniem dłuższy czas. Próbowałem wystosować jakiś wzór bazując na danych z poszczególnych przypadków, ale niestety nie daje sobie z tym rady. Wydaje mi się, że problem można rozwiązać przy pomocy "Stars and bars" ale warunek 2 elementów w grupie trochę mi przeszkadza. Może ktoś podpowiedzieć, czy idę w dobrym kierunku?

[kerajs]

Zadanie ma rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ n \ge 2k}\). Wtedy ilość rozwiązań jest równa ilości rozwiązań w liczbach naturalnych dodatnich równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_k=n-k}\)
która wynosi \(\displaystyle{ \frac{n-k-1}{k-1}}\)

[StuFfii]

Tam powinno nie powinno być \(\displaystyle{ x _{1}+...+x_{k}=n-2k}\)?

[kerajs]

Oj, widzę wszystko źle napisałem. Powinno być:

Zadanie ma rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ k \ge 2n}\). Wtedy ilość rozwiązań jest równa ilości rozwiązań w liczbach naturalnych dodatnich równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n=k-n}\)
która wynosi \(\displaystyle{ \ {k-n-1 \choose n-1}}\)

Nie dość, że pokręciłem oznaczenia, to jeszcze użyłem złego kodu latex, co dało ułamek zamiast symbolu Newtona. Wielkie SORRY.

Każdej z n grup daję jeden element i stąd k-n czyli prawa strona równania, które rozwiązuję w liczbach naturalnych dodatnich. (wytłumaczenie wzorku w 439545.htm#p5574622 )