Przedmioty w pudełkach

[mycha-1-7]

Witam,
mam problem z zadaniem,
Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ 14}\) przedmiotów w \(\displaystyle{ 3}\) pudełkach tak aby w każdym z pudełek nie znalazło sie wiecej niż \(\displaystyle{ 7}\) przedmiotów.

Jakby nie to ostatnie ograniczenie to mogłabym zastosować dwumian Newtona \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) , ale przez to że w pudełku nie może być wiecej niz \(\displaystyle{ 7}\) przedmiotów to te rozwiazanie wydaje mi sie nieprawidłowe.;/

[szw1710]

Można tak:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{aligned}&x+y+z=14\\&0\le x\le 7\\&0\le y\le 7\\&0\le z\le 7\\&x,y,z\in\NN \end{aligned}}\)

Zrób rysunek - wyjdzie graniastosłup. Policz punkty kratowe na górnej ścianie.

[mycha-1-7]

nie znam tej metody;/

[kerajs]

Pan profesor trochę zażartował. Sugerował aby ściąć sześcian ( \(\displaystyle{ x,y,z \in \left\langle 0,7 \right\rangle}\) ) płaszczyzną ( \(\displaystyle{ x+y+z=14}\) ) i policzyć punkty kratowe na płaszczyźnie ścięcia. Tworzą one trójkąt równoboczny w którego podstawie jest 8 takich punktów więc ich szukana ilość to \(\displaystyle{ T_8= \frac{8 \cdot 9}{2}=36}\) .

Inaczej:
Naturalne rozwiązania równania \(\displaystyle{ x+y+z=14}\) to permutacje trójek: \(\displaystyle{ (7,7,0), (7,6,1), (7,5,2), (7,4,3), (6,6,2), (6,5,3), (6,4,4), (5,5,4)}\). Gdy cyfry się nie powtarzają to ilość permutacji wynosi \(\displaystyle{ 3!=6}\), a dla dwóch powtarzających się cyfr \(\displaystyle{ \frac{3!}{2!}=3}\).
Ilość rozwiązań to \(\displaystyle{ 4 \cdot 3!+4 \cdot \frac{3!}{2!}=36}\)

PS
Zupełnie inną sprawą jest dlaczego założył, iż pudła są rozróżnialne, a przedmioty nie.