Liczba permutacji

[El3na]

1) Ile jest 6-elementowych permutacji o 3 punktach stałych? Wynik przestawić za pomocą sumy jawnej.
Więc korzystając ze wzoru na liczbę permutacji z punktami stałymi będzie to \(\displaystyle{ {6 \choose 3} \sum^{\infty}_{k=0} \dfrac{(-1)^k}{k!}}\) ale nie wiem jak to dalej rozwinąć..

2) Na ile sposobów można rozmieścić 10 cyfr 0,1,2,..9,aby żadna cyfra nieparzysta nie była na swoim miejscu? Innymi słowy,ile jest permutacji tych cyfr, dla których żadna nieparzysta nie jest punktem stałym? Wynik podać z wykorzystaniem symbolu \(\displaystyle{ \sum}\).

Tutaj rozpatruje 2 przypadki gdy punktami stałymi są parzyste oraz gdy żadna liczba nie jest punktem stałym czyli: \(\displaystyle{ {10 \choose 5} \sum^{\infty}_{k=0} \dfrac{(-1)^k}{k!} + 10! \sum^{\infty}_{k=0} \dfrac{(-1)^k}{k!}}\)
To rozwiązanie jest ok?

[Janusz Tracz]

Jesteś pewna tego wzoru, bo na oko to jest liczba niecałkowita. Według mnie liczba \(\displaystyle{ n}\) elementowych permutacji z \(\displaystyle{ k}\) punktami stałymi to

\(\displaystyle{ !\left( n-k\right) {n \choose k} = \frac{n!}{k!} \sum_{i=0}^{{\red{n-k}}} \frac{\left( -1\right)^i }{i!}}\)

gdy \(\displaystyle{ k=0}\) dostaniesz liczbę nieporządków (czyli permutacji bez punktów stałych).