Kątownik o wymiarach \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) definiujemy w następujący sposób: Kwadratową płytkę o wymiarach \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) dzielimy odcinkami łączącymi środki przeciwległych boków na cztery płytki o wymiarach \(\displaystyle{ 1 \times 1}\), a następnie usuwamy jedną z tych płytek.
Na ile sposobów można wypełnić prostokąt o wymiarach \(\displaystyle{ 2 \times n}\) (\(\displaystyle{ n \ge 1}\))
za pomocą kwadratowych płytek i kątowników o wymiarach \(\displaystyle{ 2 \times 2}\)? Napisz odpowiednie równanie lub układ równań rekurencyjnych i podaj wzór ogólny.
Do wypełnienia prostokąta \(\displaystyle{ 2 \times n}\) mam bloki (złożone z dwóch kątowników) o wymiarach \(\displaystyle{ 2 \times 3}\) oraz kwadraty \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Ilość użytych bloków każdego rodzaju opisują pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b)}\) spełniających równanie: \(\displaystyle{ n=3a+2b}\), a ilość możliwych układów dla danej pary to: \(\displaystyle{ \frac{(a+b)!}{a!b!}2^a}\)
Dla \(\displaystyle{ n=6k}\) rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ n=3a+2b}\) są pary: \(\displaystyle{ (0,3k), (2,3k-3),(4,3k-6),..., (2k-2,3), (2k,0)}\) stąd ilość możliwych układów to: \(\displaystyle{ il= \sum_{i=0}^{k} \frac{(2i+3k-3i)!}{(2i)!(3k-3i)!}2^{2i} = \sum_{i=0}^{ \frac{n}{6} } \frac{( \frac{n}{2}-i)!}{(2i)!(\frac{n}{2}-3i)!}2^{2i}}\)
