Znajdź liczbę

[max123321]

Znajdź liczbę wszystkich liczb \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowych (\(\displaystyle{ n \ge 3}\)) zapisanych za pomocą cyfr \(\displaystyle{ 1,2,3}\) oraz spełniających jednocześnie następujące dwa warunki:

1. Każda z cyfr \(\displaystyle{ 1,2,3}\) występuje co najmniej raz.
2. Jedynka nie występuje na pierwszym miejscu, dwójka nie występuje na drugim miejscu i trójka nie występuje na trzecim miejscu.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Liczba nieporządków zbioru trzyelementowego wynosi dwa i na pierwszych trzech miejscach mamy tylko dwie możliwości wyboru cyfr, mianowicie: \(\displaystyle{ 2,3,1}\), albo \(\displaystyle{ 3,1,2}\) i tak będzie dla każdej liczby. Na następnych miejscach możemy wybrać dowolne z tych trzech liczb czyli od miejsca czwartego będziemy mieli trzy możliwości wyboru. Ostatecznie wynik będzie równy:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3^{n-3}}\).

Czy tak jest dobrze?

[kerajs]

Liczba nieporządków zbioru trzyelementowego wynosi dwa i na pierwszych trzech miejscach mamy tylko dwie możliwości wyboru cyfr, mianowicie: \(\displaystyle{ 2,3,1}\), albo \(\displaystyle{ 3,1,2}\) i tak będzie dla każdej liczby.
(...)
Czy tak jest dobrze?

Nie jest dobrze (choć (i tylko) dla liczb 3-cyfrowych wynik jest poprawny).

Wynik łatwo można poprawić wiedząc, że przy większych n szukana liczba może zaczynać się tak: \(\displaystyle{ 211, 212, 231,232,311, 312, 331,332}\).

\(\displaystyle{ il=2 \cdot 3^{n-3}+6 \cdot \left( 3^{n-3}-2^{n-3}\right)}\)

[max123321]

A skąd jest ta szóstka? Bo \(\displaystyle{ 3^{n-3}-2^{n-3}}\) to jest z tego, że od wszystkich możliwości od czwartego miejsca do końca odejmujesz te możliwości w których występują tylko cyfry dwóch rodzajów, tak? A ta szóstka to jest z tego, że od tych ośmiu możliwości, które wypisałeś odejmujesz te dwie w których występują trzy rodzaje cyfr?