Wykaż, że każdy wielościan

[max123321]

Wykaż, że każdy wielościan wypukły ma ścianę trójkątną lub naroże trójścienne(wierzchołek, w którym schodzą się dokładnie trzy ściany).

Jak to zrobić?

[Jan Kraszewski]

Nie wprost + wzór Eulera.

JK

[max123321]

Niestety dalej nie wiem. Zakładamy, że istnieje wielościan, który nie ma ściany trójkątnej i nie ma naroża trójściennego czyli, że istnieje wielościan, którego wszystkie ściany są co najmniej czworokątne i nie ma naroża trójściennego, ale co dalej?

[Jan Kraszewski]

Skoro nie ma ściany trójkątnej, to każda ściana ma przynajmniej cztery krawędzie, czyli \(\displaystyle{ k\ge \frac{4s}{2}=2s}\) (dzielimy przez dwa, bo każda krawędź jest liczona podwójnie - łączy dwie ściany).

Skoro nie ma naroża trójściennego, to z każdego wierzchołka wychodzą przynajmniej cztery krawędzie, czyli \(\displaystyle{ k\ge \frac{4w}{2}=2w}\) (dzielimy przez dwa, bo każda krawędź jest liczona podwójnie - ma dwa końce).

Teraz połącz to ze wzorem Eulera.

JK

[max123321]

Tak, to już chyba umiem dokończyć. Wzór Eulera:
\(\displaystyle{ w-k+s=2}\), a mamy:
\(\displaystyle{ k \ge 2s}\)
\(\displaystyle{ k \ge 2w}\), dodając stronami:
\(\displaystyle{ 2k \ge 2s+2w}\) czyli:
\(\displaystyle{ k \ge s+w}\) i dalej:
\(\displaystyle{ w+s-k \le 0}\)
Sprzeczność ze wzorem Eulera. Dobrze?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK