Wielościan wypukły

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2378
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Wielościan wypukły

Post autor: max123321 » 25 cze 2019, o 20:05

Udowodnij, że jeśli wielościan wypukły nie ma ścian trójkątnych ani czworokątnych, to
\(\displaystyle{ 3k \le 5w-10}\).

Jak to zrobić?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3129
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Wielościan wypukły

Post autor: leg14 » 25 cze 2019, o 21:09

Pewnie powinieneś zastosować jakąś wersję wzoru Eulera

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2378
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Re: Wielościan wypukły

Post autor: max123321 » 25 cze 2019, o 21:48

No tak, ale jak to zrobić. Wiem tylko, że:
\(\displaystyle{ w-k+s=2}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25966
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: Wielościan wypukły

Post autor: Jan Kraszewski » 25 cze 2019, o 21:55

No właśnie. Teraz pomnóż tę równość obustronnie przez \(\displaystyle{ 5}\) oraz zastanów się, jak założenie o nieistnieniu ścian trójkątnych i czworokątnych da się wyrazić jako nierówność pomiędzy liczbą krawędzi a liczbą ścian.

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2378
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Re: Wielościan wypukły

Post autor: max123321 » 25 cze 2019, o 22:29

Niestety nie wiem, dokładnie. Powinienem dostać \(\displaystyle{ 2k \ge 5s}\), ale nie wiem z czego to wynika.
Jedna krawędź wyznacza dwie ściany, a jedna ściana \(\displaystyle{ 5}\) krawędzi, ale jak to zebrać do kupy? Jakoś chyba nie mam wyobraźni do tego.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25966
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: Wielościan wypukły

Post autor: Jan Kraszewski » 25 cze 2019, o 22:34

Każda ściana ma przynajmniej pięć krawędzi, więc masz \(\displaystyle{ k\ge \frac{5s}{2}}\) (bo każdą krawędź liczysz dwukrotnie).

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2378
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Re: Wielościan wypukły

Post autor: max123321 » 25 cze 2019, o 22:54

No faktycznie, jakoś nie spojrzałem na to w ten sposób. Dzięki.

ODPOWIEDZ