Równanie charakterystyczne dla zależności rekurencyjnej

[mat12]

Cześć,
mam problem z rozwiązaniem takiego zadania:
proszę rozwiązać równanie charakterystyczne dla zależności rekurencyjnej:
\(\displaystyle{ a_{n}- 2 \cdot a_{n-1}+ a_{n-2}=0}\)

[Janusz Tracz]

Trzeba ułożyć równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ r^2-2r+1=0}\)

rozwiązać je. Co daje \(\displaystyle{ r=1}\) jako podwójny pierwiastek zatem

\(\displaystyle{ a_n=C_1n+C_2}\)

Gdzie stałe można wyznaczyć jak się zna warunki początkowe.

[mat12]

Janusz Tracz, co to są te warunki początkowe?

[Janusz Tracz]

Wartości ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) dla jakichś \(\displaystyle{ n}\) najczęściej \(\displaystyle{ 0}\) potem \(\displaystyle{ 1}\) itd. o ile potrzeba więcej. Tu do określenia jednoznacznie postaci \(\displaystyle{ a_n}\) konieczne było by podanie dwóch jego wartość bo bez tego można jedynie powiedzieć, że jego postać to jakoś funkcja liniowa określona na \(\displaystyle{ \NN}\) ale jaka konkretnie to nie wiadomo.

[mat12]

Janusz Tracz, jak mogę to z tego policzyć, bo nie mam ich podanych?

[Janusz Tracz]

jak mogę to z tego policzyć

Z tego już nic nie policzyć po prostu ciąg \(\displaystyle{ a_n=C_1n+C_2}\) gdzie \(\displaystyle{ C_1,C_2}\) to jakieś stałe ile one wynoszą, nie wiadomo i nikt się nie dowie do póki ktoś nie określi warunków początkowych. Bez nich to już jest koniec zadania.

Być może interpretacja fizyczna Ci pomoże to zrozumieć. Powiedzmy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) określa liczebność populacji nornic u mnie na ogródku w zależności od roku. Powiedzmy, że policzyłem iż w roku zerowym było \(\displaystyle{ 100}\) nornic czyli \(\displaystyle{ a_{0}=100}\) a rok późnij już \(\displaystyle{ 200}\) czyli \(\displaystyle{ a_{1}=200}\) ile nornic będzie za rok czyli \(\displaystyle{ a_2}\)?

[mat12]

Janusz Tracz, czyli jak nie ma warunkow poczatkowych to nie da sie tego rozwiazac, to jaki sens ma tego typu zadanie?

[Janusz Tracz]

czyli jak nie ma warunków początkowych to nie da sie tego rozwiązać

Co rozumiesz przez rozwiązać? No rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a_n=C_1n+C_2}\) koniec kropka

to jaki sens ma tego typu zadanie?

Sens jest taki, że poznajesz ogólne metody rozwiązywania rekurencji. A w świecie fizycznym (patrz przykład) zwykle są podane jeszcze dodatkowe warunki które pozwalają uściślić rozwiązanie tylko, że to rozwiązanie musisz mieć bo bez niego nie będziesz miał czego uściślać.

[mat12]

Janusz Tracz, no dobra, czyli rozw do tego mojego przykladu to:
\(\displaystyle{ a_{n}= 2 \cdot a_{n-1}-a_{n-2}}\)?
Okej rozumiem, a mozesz do tego przykaldu jakies punkty poczatkowe podac ja bym to wtedy zrobił dla treningu, chyba ze to dowolne mogą byc.

[Janusz Tracz]

Janusz Tracz, no dobra, czyli rozw do tego mojego przykladu to:
\(\displaystyle{ a_{n}= 2 \cdot a_{n-1}-a_{n-2}}\)?

Nie. Przecież to tylko przepisanie treści. Przeczytaj notatki z wykładu i przejrzy

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_rekurencyjne

a mozesz do tego przykaldu jakies punkty poczatkowe podac ja bym to wtedy zrobił dla treningu

Już to zrobiłem, tylko nie odpowiedziałeś. Pytałem o ilość nornic za rok.

Być może interpretacja fizyczna Ci pomoże to zrozumieć. Powiedzmy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) określa liczebność populacji nornic u mnie na ogródku w zależności od roku. Powiedzmy, że policzyłem iż w roku zerowym było \(\displaystyle{ 100}\) nornic czyli \(\displaystyle{ a_{0}=100}\) a rok późnij już \(\displaystyle{ 200}\) czyli \(\displaystyle{ a_{1}=200}\) ile nornic będzie za rok czyli \(\displaystyle{ a_2}\)?

Rozwiąż to zadanie.

chyba ze to dowolne mogą byc.

No oczywiści, że mogą być dowolne dlatego pojawia się ta nieoznaczoność w postaci \(\displaystyle{ C_1,C_2}\) właśnie dlatego, że \(\displaystyle{ a_0}\) oraz \(\displaystyle{ a_1}\) są dowolne.

[mat12]

Janusz Tracz, To jest dobrze rozwiazanie do mojego przykladu? \(\displaystyle{ r^{2} - 2r - 1=0}\)
co do nornic: \(\displaystyle{ a_{2} = 400 - 100=300}\)

[Janusz Tracz]

To jest dobrze rozwiązanie do mojego przykładu? \(\displaystyle{ r^{2} - 2r - 1=0}\)

To jest równanie charakterystyczne rekurencji jaką masz daną w treści, gdy ktoś pyta o równanie charakterystyczne to jest to rozwiązanie. Gdy ktoś pyta o jego rozwiązanie to trzeba policzyć \(\displaystyle{ r}\) jawnie (wychodzi \(\displaystyle{ 1}\)). A gdy ktoś pyta dalej co z tego wynika i jaka jest postać rekurencji to odpowiedzią jest \(\displaystyle{ a_n=C_1n+C_2}\). A gdy ktoś (tak jak ja) zada warunki porządkowe to trzeba jeszcze policzyć ile konkretnie wynoszą \(\displaystyle{ C_1,C_2}\).

co do nornic: \(\displaystyle{ a_{2} = 400 - 100=300}\)

Odpowiedź dobra tylko skąd to wytrzaskałeś. Bo napisałeś tylko matematyczne znaczki bez słowa komentarza co z czego wynika. Poprawnie było by tak: Skoro \(\displaystyle{ a_n=C_1n+C_2}\) a \(\displaystyle{ a_0=100}\) to \(\displaystyle{ C_2=100}\) a dalej skoro \(\displaystyle{ a_1=200}\) to \(\displaystyle{ C_1+100=200}\) zatem \(\displaystyle{ C_1=100}\) czyli ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) przy takich warunkach początkowych to \(\displaystyle{ a_n=100n+100}\). Czyli \(\displaystyle{ a_2=100 \cdot 2+100=300}\).

[mat12]

Janusz Tracz, oki, a masz moze jakies przyklady gdzie trzeba poloiczyc \(\displaystyle{ r}\) i to z tymi warunkami początkowymi?

co do zadania z nornic po prostu podstawiłem wartosci za \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\) i zrobiłem