Rozwiąż poniższa kongurencje.

[maciek1508]

Mógłby mi ktoś pomóc wytłumaczyć jak obliczyć to zadanie ?

\(\displaystyle{ 2x\equiv33\pmod{18}}\)

\(\displaystyle{ x}\) należy do rzeczywistych, \(\displaystyle{ 0 \le x \le m-1}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ X}\) należy do rzeczywistych

Niech więc \(\displaystyle{ x= \frac{33}{2}}\) i po sprawie.

PS jesteś pewien, że tak to wyglądało? Liczba \(\displaystyle{ 2}\) nie ma odwrotności modulo \(\displaystyle{ 18}\).

[maciek1508]

Treść zadania poprawna tylko założenie źle napisałem \(\displaystyle{ X\n\ZZ}\).

[Janusz Tracz]

No to zmiana postać rzeczy skoro \(\displaystyle{ x}\) jest całkowity to odpowiedź brzmi, ta kongruencja nie ma rozwiązania bo \(\displaystyle{ 2}\) nie ma odwrotności modulo \(\displaystyle{ 18}\) bo \(\displaystyle{ \NWD (2,18) \neq 1}\). To jest warunek konieczny i wystarczający zobacz na przykład: odwrotność modulo

[maciek1508]

Ok,

\(\displaystyle{ 3x\equiv24\pmod{15}\\
\text{NWD} (3,15)=3}\)

I teraz co powinienem zrobić

[Janusz Tracz]

Ogólnie. Kongruencje \(\displaystyle{ ax\equiv c\bmod b}\) można traktować jak równanie diofantyczne \(\displaystyle{ ax+by=c}\) ma ono rozwiązania gdy \(\displaystyle{ c}\) podzieli się przez \(\displaystyle{ \NWD (a,b)}\). W poprzednim przykładnie zapomniałem dopisać, że \(\displaystyle{ 33}\) nie podzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) więc rozwiązań nie ma. Teraz skoro \(\displaystyle{ \NWD (3,15)=3}\) a \(\displaystyle{ 24}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) to kongruencję można uprościć do \(\displaystyle{ x\equiv 8\bmod 5}\) a nawet \(\displaystyle{ x\equiv 3\bmod 5}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ x=5n+3}\)