Podzbiory mające identyczne moduły różnicy elementów

[malymisio888]

Witam, totalnie nie wiem jak zająć się takim zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ X=\left\{51,52,53,...,100\right\}}\) i niech A będzie dowolnym 15- elementowym podzbiorem zbioru X. Udowodnij, że w rodzinie wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru A istnieją dwa podzbiory mające identyczny moduł różnicy elementów.

Proszę o pomoc

[szw1710]

Wskazówki.

1. Ile jest różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ 50}\)-elementowego?
2. Ile jest możliwych różnic i ich modułów?

[malymisio888]

1) \(\displaystyle{ {50 \choose 2}}\)

2) Różnic jest 100? Modułów 50?

[kerajs]

Dałbym inne wskazówki:
1. Ile jest różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru 15-elementowego?
2. Ile jest możliwych modułów różnic między dwoma elementami zbioru X?

Ps
Intryguje mnie czy zadanie jest dobrze przepisane skoro można wykazać mocniejszą tezę:
istnieją dwa dwuelementowe podzbiory A o pustej części wspólnej, posiadające identyczny moduł różnicy elementów.

PS
@ szw1710
Kiedyś natknąłem się na forum statystyczne którego Pan był moderatorem (a miodzio aktywnym użytkownikiem). Niedawno próbowałem, niestety bezskutecznie, je znaleźć. Mógłbym dostać namiary na nie?

[malymisio888]

1) \(\displaystyle{ {15 \choose 2}}\)
2) No modułów różnicy jest 50?-- 18 cze 2019, o 14:47 --No to skoro podzbiorów jest 102, a modułów roznicy 50 to na mocy zasady szufladkowej dirichleta musza istniec takie podzbiory ktore maja identyczny modul roznicy?

[kerajs]

No to skoro podzbiorów jest 102, a modułów roznicy 50 to na mocy zasady szufladkowej dirichleta musza istniec takie podzbiory ktore maja identyczny modul roznicy?

Tak. Skoro dwuelementowych podzbiorów zbioru 15 elementowego jest o tyle więcej niż możliwych modułów różnic, to na pewno istnieją takie dwa (a nawet trzy!) które mają taki sam moduł różnicy elementów.

PS
Moim zdaniem \(\displaystyle{ {15 \choose 2}=105}\) , a modułów różnic jest 49.

PPS
To, że istnieją co najmniej trzy dwuelementowe podzbiory o tym samym module różnicy sprawia, że zawsze w zbiorze A istnieją jednocześnie dwie rozłączne pary o tej samej bezwzględnej różnicy.
Bo nawet jeśli \(\displaystyle{ a-b=b-c=c-d}\) to wtedy parami będą (a,b) i (c,d) .

[malymisio888]

Ok dzieki