przedstawienie liczb Catalana

[kmarciniak1]

Wykaż, że liczby Catalana można przedstawić następująco \(\displaystyle{ C _{n}= \frac{2 \cdot 6 \cdot 10...(4n-2)}{(n+1)!}}\)

Wiem, że liczby Catalana można wyrazić jako \(\displaystyle{ C _{n}= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)…(2n)}{(n+1)!}}\)

Czyli właściwie wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...2n=2 \cdot 6 \cdot 10...(4n-2)}\)
ale nie widzę co z tym można by zrobić.

[Premislav]

Oznaczmy
\(\displaystyle{ L=(n+1)(n+2)\ldots 2n}\), wtedy

\(\displaystyle{ P=\prod_{k=1}^{n}(4k-2)=2^n \prod_{k=1}^{n}(2k-1)=2^n \frac{(2n)!}{(2n)!!} =2^n \frac{(2n)!}{2^n n!} = \frac{(2n)!}{n!} =L}\)