trik fainmana

[dzi-dzi]

Hej
nie wiem ile z was wie na czy polega ta metoda ciekawym przykładem jest obliczenie takiej sumy :
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{n} {n \choose k} * k}\) wiedząc że suma \(\displaystyle{ \sum_{k}^{n} {n \choose k} = 2^{k}}\)

robi się to tak :
\(\displaystyle{ \left( a + b\right)^{n} = \sum_{k}^{n} {n \choose k}a^{k}b^{n-k}/ \frac{d}{ \mbox{d}a}}\)
\(\displaystyle{ n*(a+b)^{n-1}= \sum_{k}^{n} {n \choose k}k a^{k-1}b^{n-k} (a = 1,b=1)}\)
\(\displaystyle{ n2^{(n-1)} =\sum_{k}^{n} {n \choose k} * k}\)

w taki sposób można rozwiązać kilka innych podobnych zadań mnie zainteresowało czy znając taką sumę :
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}}\)
udało by się rozwiązać taką :
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{n} \frac{2k +1}{k(k+1)}}\)

[Premislav]

To dość znana rzecz. Co do Twojego pytania:
niestety tak nie bardzo…
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{k(k+1)}= \\=\sum_{k=1}^{n} \left( \frac 2 {k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right) =2 \sum_{k=1}^{n}\frac 1 {k+1}+ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=2(H_{n+1}-1)+\frac n{n+1}}\)
gdzie na
\(\displaystyle{ H_n= \sum_{k=1}^{n} \frac 1 k}\) nie istnieje zwarty wzór.