funkcja tworząca 1/n

[FrostEvil]

Tak jak w temacie, jak obliczyć funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n}}\)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n}, \ \ n \geq 1, \ \ a_{0}=0.}\)

\(\displaystyle{ g(x) = \sum_{i=1}^{\infty} a_{n}x^{n} = \frac{1}{1}x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 +...= x +\frac{x^{2}}{2}+ \frac{x^3}{3} +...= \sum_{i=1}^{n}\frac{x^{n}}{n}=\\ = \int( \sum_{i=1}^{n} x^{n} )dx = \int \frac{1}{1- x} dx = -\ln(1- x) = \ln \left(\frac{1}{1-x}\right).}\)

[MrCommando]

Zapis \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{x^n}{n}}\) większego sensu to akurat nie ma. Poza tym jak już całkujesz szereg potęgowy, to całka oznaczona powinna być, bo nieoznaczona to rodzina funkcji (swoją drogą stała gdzieś Ci się zapodziała). Poprawnie będzie wyglądać to tak:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\int_{0}^{x} t^{n-1} \mbox{d}t\right)=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=1}^{\infty} t^{n-1}\right)\mbox{d}t=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\mbox{d}t=-\ln(1-x)}\), gdzie wszystko się dzieje dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) i gdzie w drugim przejściu skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie. Dla \(\displaystyle{ x=-1}\) ten szereg też jest zbieżny, co należałoby sprawdzić oddzielnie (ale nie jest to istotne, bo chodzi o wyznaczenie samej funkcji tworzącej).

[janusz47]

Powinno być zamiast \(\displaystyle{ \infty}\) zamiast \(\displaystyle{ n.}\)

[MrCommando]

I tak będzie bez sensu, bo żaden wskaźnik \(\displaystyle{ i}\) tu nigdzie nie występuje.

[janusz47]

\(\displaystyle{ g(x) = \sum_{i=1}^{\infty} a_{i}x^{i} = \frac{1}{1}x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 +...= x +\frac{x^{2}}{2}+ \frac{x^3}{3} +...= \sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{i}}{i}=\\ = \int( \sum_{i=1}^{\infty} x^{i} )dx = \int \frac{1}{1- x} dx = -\ln(1- x) = \ln \left(\frac{1}{1-x}\right).}\)

[a4karo]

TO sugeruje, że \(\displaystyle{ \frac{x^i}{i}=\int x^i dx}\) a to trochę nieprawda.

A pomysł, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}}\) wybito mi z głowy w liceum