Wyznaczyc ciąg z funkcji tworzącej

[macikiw2]

Zadanie 1. Mam funkcję tworzącą:
\(\displaystyle{ A\left( x\right) = \frac{2 x^{2} + 2x -1 }{\left( 3x-1\right)\left( 2x-1\right) ^{2} }}\)

Wyznaczam ciąg przedstawiając to w postaci

\(\displaystyle{ \frac{2 x^{2} + 2x -1 }{\left( 3x-1\right)\left( 2x-1\right) ^{2} } = \frac{A}{3x-1} + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{\left( 2x-1\right) ^{2} }}\)

Wyznaczyłem
\(\displaystyle{ A = -1}\)

\(\displaystyle{ B = 1}\)

\(\displaystyle{ C = 1}\)

Mam teraz

\(\displaystyle{ A\left( x\right) = \frac{1}{1-3x} - \frac{1}{1-2x} - \frac{1}{\left( 1-2x\right) ^{2} }}\)

teraz wiem że

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-3x} = 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x} = 2^{n}}\)

a ostatni jak wyznaczyć?

Zadanie 2. Wyznaczyć funkcję tworzącą z ciągu

\(\displaystyle{ a_{n}= n^{2}}\)

z czego powinienem skorzystać?

[Premislav]

teraz wiem że

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-3x} = 3^{n}}\)

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=gcd_NBA2uGw

Raczej
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-3x}= \sum_{n=0}^{+\infty}3^n x^n, \ |x|<\frac 1 3}\)

Poza tym
\(\displaystyle{ \frac{2}{(1-2x)^2}= \left( \frac1{1-2x}\right)' =\left( \sum_{n=0}^{+\infty} 2^n x^n\right)'=\\= \sum_{n=0}^{+\infty}( 2^n x^n)', \ |x|<\frac 1 2}\)
(szeregi potęgowe różniczkuje się wyraz po wyrazie) i podziel stronami przez dwa.

Co do następnego, można z pochodnymi, ale ciekawiej jest zauważyć, że
\(\displaystyle{ n^2=1+3+\ldots+(2n-1)}\) i zmienić kolejność sumowania:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}n^2 x^n=\sum_{n=1}^{\infty}n^2 x^n= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^{n}(2k-1)x^n=\\= \sum_{k=1}^{\infty}(2k-1) \sum_{n=k}^{\infty}x^n=\frac{2}{1-x} \sum_{k=1}^{\infty} kx^k- \frac1{1-x}\sum_{k=1}^{\infty}x^k=\\=\frac{2x}{(1-x)^3}-\frac{x}{(1-x)^2}}\)