Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

[suchy1111]

Cześć, w temacie 440772.htm rozwiązywałem równanie rekurencyjne.
Wynikiem tego równania było:
\(\displaystyle{ G(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(5\cdot 4^n-5\cdot 3^n)x^n}\) dla \(\displaystyle{ |x|<\frac 1 4}\)
Wiem że wynikiem zadania będzie odpowiedź \(\displaystyle{ T(n) = 5\cdot 4^n-5\cdot 3^n}\) Ale zastanawiam się jak do tego dojść, jakie jest twierdzenie matematyczne które rozwiązuje to równanie tworzącej w postać zwartą? Znalazłem że korzysta się z rozwinięcia równania tworzącej w szereg potęgowy. Natomiast słyszałem o coś o wielomianach nieskończonych które tworzą sumę szeregów i dlatego można jakoś je tak przedstawić. Zdaje sobie sprawę z tego że to o czym słyszałem mogłem źle zapamiętać albo zrozumieć, dlatego proszę o pomoc. Jak się dzieje że z rozwinięcia równania tworzącej mogę znaleźć postać zwartą.

[Benny01]

Funkcja tworząca to nic innego jak \(\displaystyle{ G(x)= \sum_{k=1}^{ \infty } a_nx^n}\)
Jak sobie przyrównasz te szeregi to otrzymasz wzór na \(\displaystyle{ a_n}\). Chyba, że nie zrozumiałem Twojego pytania.

[Premislav]

To wynika z definicji funkcji tworzącej (funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ (a_n)_{n=0}^{\infty}}\) jest \(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}\)) i z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy wokół ustalonego punktu (tutaj wokół zera). Tj. jeśli w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_0}\) są określone zbieżne szeregi potęgowe \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n, \ \sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n}\) i w tymże otoczeniu zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n= \sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n}\), to \(\displaystyle{ (\forall n\in \NN)a_n=b_n}\)
Można to udowodnić, różniczkując odpowiednio wiele razy (szeregi potęgowe wewnątrz przedziału zbieżności różniczkuje się wyraz po wyrazie) i wstawiając \(\displaystyle{ x:=x_0}\).

[suchy1111]

Dziękuje Premislav, jeszcze raz za pomoc