Rekurencja liniowa

[suchy1111]

Rozważmy następujące równanie rekurencyjne.

\(\displaystyle{ T (n) = \begin{cases} 0&\mbox{dla }n =1\\ 5&\mbox{dla } n =2 \\7 T(n -1) - 12 T(n-2 ) &\mbox{dla } n \ge 2\end{cases}}\)

Znajdź postać zwartą dla \(\displaystyle{ T (n)}\) wykorzystując funkcje tworzące.
Korzystając z wzoru na funkcje tworzącą.

\(\displaystyle{ T (n)= \sum_{n=0 }^{\infty} g_{n} x^{n} = 0 + 5x +7 \sum_{n=2 }^{\infty} a_{n-1} x^{n} -12 \sum_{n=2 }^{\infty} a_{n-2} x^{n} =\\
= 5x + 7x \sum_{n=2 }^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} -12 x^{2} \sum_{n=2 }^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} =5x+7xT(n)-12x^{2}T(n) \\
T(n) = \frac{5x}{1-7x+12x^{2}}}\)
Przedstawiam wcześniej otrzymaną funkcję w postaci szeregu funkcyjnego. Obliczam miejsca zerowe dla wielomianu \(\displaystyle{ W(x) =1-7x+12x^{2} .}\)
\(\displaystyle{ 1-7x+12x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(-7)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 12=1 \\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{1}=1 \\
x_{1}=\frac{7- 1}{2 \cdot 12}= \frac{6}{24} = \frac{1}{4}; x_{2}=\frac{7+ 1}{2 \cdot 12}= \frac{8}{24} = \frac{1}{3}}\)
Co implikuje: \(\displaystyle{ W(x)=(1-4 x ) \cdot (1-3 x )}\) dlatego:
\(\displaystyle{ T(n)= \frac{5x}{1-7x+12x^2}= \frac{A}{1-4 x} + \frac{B}{1-3 x}}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ A,B \in \RR}\). Po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ 1-7x+12x^{2}}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ 5x=A(1-4 x )+B(1-3 x )=A+B-4A x - 3 Bx}\)
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy odpowiednich wyrazach \(\displaystyle{ x^{n}}\) są sobie równe dlatego :
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=A +B\\ 5= -4A -3B\end{cases}\begin{cases} B = 5\\ A =-5 \end{cases}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ T(n)}\) po podstawieniu wynosi:
\(\displaystyle{ T(n)= \frac{5x}{1-7x+12x^2}= \frac{-5}{1-4 x} + \frac{5}{1-3 x}= \frac{-5}{1-4 x} + \frac{-5}{3x -1} \\
T(n)=-5 \sum_{ n=0 }^{\infty } ((1-4x)^{n}+ (3 x-1)^{n} ) x^{n}=-5 \cdot (1-4)^{n}+ -5 \cdot (3 -1)^{n}}\)
Niestety moim wynikiem jest \(\displaystyle{ (-5) \cdot (-3)^{n}+ (-5) \cdot (2)^{n}}\) a korzystając z równania charakterystycznego wyszło mi \(\displaystyle{ (-5) \cdot (3)^{n}+ (5) \cdot (4)^{n}}\) które jest prawidłową odpowiedzią którą sprawdziłem.
Proszę o pomoc nie potrafię znaleźć błędu a siedzę już nad tym długi czas

[Premislav]

Cześć. Prawie wszystko jest dobrze, są dwa błędy: po pierwsze sprawdź, że układ równań z rozkładu na ułamki proste (i jego rozwiązanie) powinien wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=A +B\\ 5= -3A -4B\end{cases}\begin{cases} B = -5\\ A =5 \end{cases}}\)
a Ty napisałeś:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=A +B\\ 5= -4A -3B\end{cases}\begin{cases} B = 5\\ A =-5 \end{cases}}\)

Potem niepoprawnie rozwinąłeś w szeregi geometryczne: mamy
\(\displaystyle{ \frac{a_0}{1-q}= \sum_{n=0}^{+\infty}a_o q^n}\) dla \(\displaystyle{ |q|<1}\), toteż
\(\displaystyle{ \frac{5}{1-4x}+\frac{-5}{1-3x}= \sum_{n=0}^{\infty}5\cdot 4^nx^n+ \sum_{n=0}^{\infty} -5\cdot 3^n x^n=\\= \sum_{n=0}^{\infty}(5\cdot 4^n-5\cdot 3^n)x^n}\)
dla \(\displaystyle{ |x|<\frac 1 4}\).

[suchy1111]

Dziękuje