Niech \(\displaystyle{ F(x)}\) będzie funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n}\).
Wyznacz w zależności od \(\displaystyle{ F(x)}\) oraz ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k>0}\) funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ d_n}\) zdefiniowanego w następujący sposób:
\(\displaystyle{ d_n=a_{n-k}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge k}\) oraz \(\displaystyle{ d_n=0}\) dla \(\displaystyle{ n<k}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}\)
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=0}^{\infty}d_nx^n=0+0+...+ \sum_{n=k}^{\infty}a_{n-k}x^n=
x^k \sum_{n=k}^{\infty}a_{n-k}x^{n-k} =x^k \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=x^kF(x)}\)
Czy tak jest dobrze?
Wyznacz w zależności od F(x)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wyznacz w zależności od F(x)
Tak.
Pozwolę sobie dodać taką ciekawostkę: funkcja tworząca splotu dwóch ciągów to iloczyn ich funkcji tworzących (klasyczny i˙przydatny fakt, dowód nie jest trudny). Już tłumaczę, czemu mi się nasunęła taka ciekawostka:
jeżeli (\(\displaystyle{ k}\) ustalone) weźmiemy ciąg \(\displaystyle{ (b_n)_{n=0}^{\infty}}\) określony następująco
\(\displaystyle{ b_n= \begin{cases} 0 \text{ dla } n\neq k \\ 1 \text{ dla } n=k \end{cases}}\),
to funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest właśnie \(\displaystyle{ x^k}\), natomiast splot ciągów
\(\displaystyle{ (b_n)}\) i \(\displaystyle{ (a_n)}\) to ciąg o n-tym wyrazie danym przez
\(\displaystyle{ c_n= \sum_{j=0}^{n}b_j a_{n-j}}\) i teraz jeżeli
\(\displaystyle{ n< k}\), to z powyższego określenia ciągu \(\displaystyle{ (b_n)}\) wynika, że wszystkie składniki tej sumy są zerami, stąd wówczas \(\displaystyle{ c_n=0}\), zaś jeśli \(\displaystyle{ n\ge k}\), to wszystkie składniki w sumie \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n}b_j a_{n-j}}\) oprócz \(\displaystyle{ b_ka_{n-k}=a_{n-k}}\) są zerami. Czyli
\(\displaystyle{ c_n= \begin{cases} 0 \text{ dla }n<k\\ a_{n-k} \text{ dla }n\ge k\end{cases}}\)
tj.ten splot ciągów \(\displaystyle{ (c_n)}\) jest równy Twojemu \(\displaystyle{ (d_n)}\) z zadania. No a jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) ma funkcję tworzącą \(\displaystyle{ F(x)}\), to iloczynem funkcji tworzących \(\displaystyle{ (b_n)}\) i \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest właśnie \(\displaystyle{ x^k F(x)}\), tak jak Ci wyszło. Taka mała ilustracja tego faktu o funkcji tworzącej splotu.
Pozwolę sobie dodać taką ciekawostkę: funkcja tworząca splotu dwóch ciągów to iloczyn ich funkcji tworzących (klasyczny i˙przydatny fakt, dowód nie jest trudny). Już tłumaczę, czemu mi się nasunęła taka ciekawostka:
jeżeli (\(\displaystyle{ k}\) ustalone) weźmiemy ciąg \(\displaystyle{ (b_n)_{n=0}^{\infty}}\) określony następująco
\(\displaystyle{ b_n= \begin{cases} 0 \text{ dla } n\neq k \\ 1 \text{ dla } n=k \end{cases}}\),
to funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest właśnie \(\displaystyle{ x^k}\), natomiast splot ciągów
\(\displaystyle{ (b_n)}\) i \(\displaystyle{ (a_n)}\) to ciąg o n-tym wyrazie danym przez
\(\displaystyle{ c_n= \sum_{j=0}^{n}b_j a_{n-j}}\) i teraz jeżeli
\(\displaystyle{ n< k}\), to z powyższego określenia ciągu \(\displaystyle{ (b_n)}\) wynika, że wszystkie składniki tej sumy są zerami, stąd wówczas \(\displaystyle{ c_n=0}\), zaś jeśli \(\displaystyle{ n\ge k}\), to wszystkie składniki w sumie \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n}b_j a_{n-j}}\) oprócz \(\displaystyle{ b_ka_{n-k}=a_{n-k}}\) są zerami. Czyli
\(\displaystyle{ c_n= \begin{cases} 0 \text{ dla }n<k\\ a_{n-k} \text{ dla }n\ge k\end{cases}}\)
tj.ten splot ciągów \(\displaystyle{ (c_n)}\) jest równy Twojemu \(\displaystyle{ (d_n)}\) z zadania. No a jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) ma funkcję tworzącą \(\displaystyle{ F(x)}\), to iloczynem funkcji tworzących \(\displaystyle{ (b_n)}\) i \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest właśnie \(\displaystyle{ x^k F(x)}\), tak jak Ci wyszło. Taka mała ilustracja tego faktu o funkcji tworzącej splotu.