Niech F(x) będzie funkcją tworzącą

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ F(x)}\) będzie funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n}\).

Wyznacz w zależności od \(\displaystyle{ F(x)}\) funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) zdefiniowanego w następujący sposób:
\(\displaystyle{ b_n=n \cdot a_n}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \\
b_n=n \cdot a_n \\
G(x)= \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n= \sum_{n=0}^{\infty}n \cdot a_nx^n= \\
=x \sum_{n=0}^{\infty}a_n \cdot n \cdot x^{n-1}=x \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x^n)'=
x \sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=x \left( \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=xF'(x)}\)

Czy tak jest dobrze? Nie jestem pewien tych równości z pochodną, jakby mógł ktoś napisać z jakich własności się tu korzysta będę wdzięczny.

[Premislav]

Wynika to z twierdzenia o różniczkowaniu szeregów potęgowych:

Oczywiście ta równość zachodzi wewnątrz przedziału zbieżności \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\).

[max123321]

Czyli tak jak zrobiłem jest dobrze, tak?

[Premislav]

Zgadza się.