Analityczne wyznaczenie uporządkowanych czwórek

[misiek2019]

Mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}\) będzie uporządkowaną czwórką liczb całkowitych dodatnich, która spełnia równanie \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =51}\). Napisz program wyznaczający liczbę takich uporządkowanych czwórek. Rozwiąż to zadanie analitycznie.

Przekładając to na prostszy przykład \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2} =7}\) można to rozwiązać w taki sposób:
- mamy do dyspozycji ciąg siedmiu jedynek
- musimy ten ciąg podzielić na dwa niepuste podzbiory

Wszystkie rozwiązania, gdzie * rozdziela podzbiory
1*1 1 1 1 1 1 (1 + 6)
1 1*1 1 1 1 1 (2 + 5)
1 1 1*1 1 1 1 (3 + 4)
1 1 1 1*1 1 1 (4 + 3)
1 1 1 1 1*1 1 (5 + 2)
1 1 1 1 1 1*1 (6 + 1)

Na podstawie tego można zauważyć, że wynikiem jest liczba kombinacji ułożenia jednej przeszkody w postaci * pomiędzy sześć wolnych miejsc między jedynkami.
Tak więc wynik to \(\displaystyle{ {6 \choose 1}}\)

Wracając do zadania, wynikiem będzie \(\displaystyle{ {50 \choose 3} = 19 600}\). Do dyspozycji mamy trzy rozdzielacze * które musimy ułożyć pomiędzy 50 wolnych miejsc.

Zadanie wydaje się być rozwiązane poprawnie, jednak prowadzący twierdzi, że należy jeszcze odjąć te wyniki, gdzie powstają puste podzbiory. Nie za bardzo rozumiem o co chodzi z tymi pustymi podzbiorami.

[Premislav]

Prowadzący nie ma racji lub nastąpiło jakieś nieporozumienie, żadne puste podzbiory nie powstają i \(\displaystyle{ {50\choose 3}}\) to poprawny wynik (ogólniej przy \(\displaystyle{ k}\) całkowitych dodatnich zmiennych sumujących się do \(\displaystyle{ n\ge k}\) wynik to \(\displaystyle{ {n-1\choose k-1}}\)).

[misiek2019]

Dzięki za sprawdzenie. Też mi się wydaje, że to chyba jakaś pomyłka z tymi pustymi podzbiorami.