Trójkąty w trójkącie
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11436
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3156 razy
- Pomógł: 748 razy
Trójkąty w trójkącie
Wewnątrz trójkąta jest skończona liczba punktów, które są łączone ze sobą i z wierzchołkami trójkąta odcinkami tak aby żadne z tych odcinków się nie przecinały i żeby cały trójkąt był podzielony na mniejsze trójkąciki. Udowodnić, że liczba tych trójkącików jest nieparzysta.
Ostatnio zmieniony 28 kwie 2019, o 22:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Trójkąty w trójkącie
Jest to jak na mój gust zwykła triangulacja trójkąta...
I jak pojedziemy indukcyjnie dla \(\displaystyle{ n=1,2}\) zachodzi , łatwo zauważyć(n- ilość punktów w trójkącie)
Zachodzi dla pewnego n
to n+1 wszy punkt musi się znaleźć w którymś z trójkątów (wnętrze) i teraz ten punkt możemy połączyć tylko z wierzchołkami trójkąta w którym ten punkt się znajduje, co zwiększy ilość trójkątów o dwa a, że poprzednia ilość była nieparzysta to zwiększenie o dwa da dalej liczbę nieparzystą...cnd...
I jak pojedziemy indukcyjnie dla \(\displaystyle{ n=1,2}\) zachodzi , łatwo zauważyć(n- ilość punktów w trójkącie)
Zachodzi dla pewnego n
to n+1 wszy punkt musi się znaleźć w którymś z trójkątów (wnętrze) i teraz ten punkt możemy połączyć tylko z wierzchołkami trójkąta w którym ten punkt się znajduje, co zwiększy ilość trójkątów o dwa a, że poprzednia ilość była nieparzysta to zwiększenie o dwa da dalej liczbę nieparzystą...cnd...
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8587
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Trójkąty w trójkącie
Możesz pokazać tę indukcję na poniższym przykładzie:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-1,3)--(-4,0)--(4,0)--(0,6)--(-4,0)--(0,1)--(4,0)--(1,3)--(0,1)--(-1,3)--(1,3)--(0,6)--(-1,3);
\fill[cyan] (-4,0) circle(0.1);
\fill[cyan] (4,0) circle(0.1);
\fill[cyan] (0,1) circle(0.1);
\fill[cyan] (0,6) circle(0.1);
\fill[cyan] (-1,3) circle(0.1);
\fill[cyan] (1,3) circle(0.1);
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-1,3)--(-4,0)--(4,0)--(0,6)--(-4,0)--(0,1)--(4,0)--(1,3)--(0,1)--(-1,3)--(1,3)--(0,6)--(-1,3);
\fill[cyan] (-4,0) circle(0.1);
\fill[cyan] (4,0) circle(0.1);
\fill[cyan] (0,1) circle(0.1);
\fill[cyan] (0,6) circle(0.1);
\fill[cyan] (-1,3) circle(0.1);
\fill[cyan] (1,3) circle(0.1);
\end{tikzpicture}}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Trójkąty w trójkącie
przypadek Kejrasa tak jak opisałem wcześniej punkt wpada do trójkąta dowolnego i mamy o dwa więcej czyli w tym przypadku 9(dziewięć).
Przypadku punktów leżących na linii nie rozpatrywałem, ale można taki punkt zamknąć w najmniejszym
czworokącie i też wyjdzie liczba nieparzysta trójkątów bo dojdzie cztery trójkąty zawarte w tym czworokącie co da tę samą nieparzystą liczbę.
Przypadku punktów leżących na linii nie rozpatrywałem, ale można taki punkt zamknąć w najmniejszym
czworokącie i też wyjdzie liczba nieparzysta trójkątów bo dojdzie cztery trójkąty zawarte w tym czworokącie co da tę samą nieparzystą liczbę.
Trójkąty w trójkącie
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw (-3,0)--(0,3)--(3,0)--(-3,0)--(0,1.5)--(3,0)--(0,1.5)--(0,3)--(3,0)--(1,1)--(0,3)--(1,1)--(-3,0);
\fill[cyan] (-3,0) circle(0.1); \fill[cyan] (3,0) circle(0.1); \fill[cyan] (0,3) circle(0.1); \fill[cyan] (0,1.5) circle(0.1); \fill[red] (1,1) circle(0.1); \end{tikzpicture}}\)
Czyli tak, i zamiast dwóch trókątów (w czworokącie) mamy cztery (w tym samym czworokącie).
Co do przedstawionego wcześniej przykładu - chyba nie chodzi o to, żeby pokazać jak będzie wyglądał krok kolejny, tylko o to, że według indukcji, którą proponujesz dla zadanej listy wierzchołków istnieje jedno rozwiązanie. Tymczasem rozwiązań może być więcej niż liczba permutacji zbioru elementów takiej listy. Jednym z przykładów jest rozwiązanie zaproponowane przez kerajsa.
\fill[cyan] (-3,0) circle(0.1); \fill[cyan] (3,0) circle(0.1); \fill[cyan] (0,3) circle(0.1); \fill[cyan] (0,1.5) circle(0.1); \fill[red] (1,1) circle(0.1); \end{tikzpicture}}\)
Czyli tak, i zamiast dwóch trókątów (w czworokącie) mamy cztery (w tym samym czworokącie).
Co do przedstawionego wcześniej przykładu - chyba nie chodzi o to, żeby pokazać jak będzie wyglądał krok kolejny, tylko o to, że według indukcji, którą proponujesz dla zadanej listy wierzchołków istnieje jedno rozwiązanie. Tymczasem rozwiązań może być więcej niż liczba permutacji zbioru elementów takiej listy. Jednym z przykładów jest rozwiązanie zaproponowane przez kerajsa.
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Trójkąty w trójkącie
Niech \(\displaystyle{ T}\) to będzie ten trójkąt. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie liczbą odcinków i \(\displaystyle{ S}\) będzie liczbą trójkącików w tym podziale. Jeżeli uwzględnimy duży trójkąt \(\displaystyle{ T}\), to wszystkich trójkątów jest \(\displaystyle{ S+1}\). Każdy odcinek jest wspólnym bokiem dokładnie dwóch trójkątów spośród tych \(\displaystyle{ S+1}\) trójkątów. Stąd \(\displaystyle{ 2K = 3(S+1)}\), a więc \(\displaystyle{ S+1}\) jest liczbą parzystą. Czyli \(\displaystyle{ S}\) jest liczbą nieparzystą.
Ostatnio zmieniony 1 maja 2019, o 11:24 przez Slup, łącznie zmieniany 1 raz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Trójkąty w trójkącie
Właśnie o tym mówiłem a jeżeli chodzi o jakieś permutacje to nie ma potrzeby zawracać nimi głowy...Czyli tak, i zamiast dwóch trókątów (w czworokącie) mamy cztery (w tym samym czworokącie).
Nie chodziło mi w żaden sposób o liczbę możliwości bo to nie istotne było...
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8587
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Trójkąty w trójkącie
@ arek1357,
Zarówno mój poprzedni post, jak i odpowiedzi a4karo i Dudenzza miały Ci pokazać, że rozwiązanie które podałeś dotyczy tylko niektórych podziałów trójkąta.
Przypuszczam że odmiennie rozumiemy treść zadania. Moim zdaniem chodziło o wykazanie tezy przy dowolnie podzielonym trójkącie (także takich podziałach jak na powyższych grafikach, a których nie uzyskasz ze swojej 'indukcji') , a Ty (jak sądzę) przyjmujesz że samodzielnie dokonujesz tego podziału.
PS
Sądzę, że nie ma sensu poprawiać tej 'indukcji' skoro Slup zamieścił błyskotliwie proste rozwiązanie.
Zarówno mój poprzedni post, jak i odpowiedzi a4karo i Dudenzza miały Ci pokazać, że rozwiązanie które podałeś dotyczy tylko niektórych podziałów trójkąta.
Przypuszczam że odmiennie rozumiemy treść zadania. Moim zdaniem chodziło o wykazanie tezy przy dowolnie podzielonym trójkącie (także takich podziałach jak na powyższych grafikach, a których nie uzyskasz ze swojej 'indukcji') , a Ty (jak sądzę) przyjmujesz że samodzielnie dokonujesz tego podziału.
refleksja:
Sądzę, że nie ma sensu poprawiać tej 'indukcji' skoro Slup zamieścił błyskotliwie proste rozwiązanie.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Trójkąty w trójkącie
A czy są jeszcze inne podziały trójkąta jak na trójkąty , i przypadek graniczny gdy punkt wpada na bok jakiegoś podziałowego trójkąta?Zarówno mój poprzedni post, jak i odpowiedzi a4karo i Dudenzza miały Ci pokazać, że rozwiązanie które podałeś dotyczy tylko niektórych podziałów trójkąta.
-
- Użytkownik
- Posty: 22225
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Trójkąty w trójkącie
arek1357, sprawdź, że podziału z obrazku kerajsa nie dostaniesz w procedurze indukcyjnej. Zatem dowód indukcyjny nie obejmuje wszystkich przypadków.