Ilość wszystkich możliwych zdarzeń losowych

[Rozbitek]

Cyfry \(\displaystyle{ 0,1,2,...,9}\) ustawiono losowo. Jakie jest p-wo, że między \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) znajdą się dokładnie cztery liczby?

Przestrzeń zdarzeń elementarnych to wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,9\right\}}\)
czyli rząd będzie: \(\displaystyle{ 10!}\)

A jak obliczyć rząd zdarzenia losowego?
To znaczy, wiem, że \(\displaystyle{ 2 \cdot 5 \cdot 8!}\), ale zastanawiam się jak to można opisać "bardziej formalnie"(?)
To znaczy jak określić, że to jest jakiś podzbiór permutacji, wariancja albo coś? Jak to opisać tak na funkcjach?
Tak jak Omega to wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,9\right\}}\)

[Premislav]

Na \(\displaystyle{ {8\choose 4}}\) sposobów wybierasz cyfry, które będą stać między zerem a jedynką, na dwa sposoby decydujesz o tym, czy wcześniej będzie zero, czy jedynka, na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów permutujesz te cyfry, które mają stać między zerem a jedynką, a potem ten blok sześciu cyfr (zero, jedynka i cztery cyfry sklejasz w jedną superliczbę, czy superelement i masz tak: są jeszcze cztery pozostałe cyfry plus superelement, czyli pięć elementów, które permutujesz na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów. Wynikiem jest więc
\(\displaystyle{ \frac{2{8\choose 4}4! 5!}{10!}=\frac{1}{9}}\)

[janusz47]

Nie takie rozumowanie. Nic nie sklejamy w superliczbę czy superelement. Co to za wymyślone
pojęcia?

Cyfry \(\displaystyle{ 0, 1}\) mogą stać na miejscach:

\(\displaystyle{ 1 ... 6}\)

\(\displaystyle{ 2 ... 7}\)

\(\displaystyle{ 3 ... 8}\)

\(\displaystyle{ 4 ... 9}\)

\(\displaystyle{ 5 ... 10}\)

Jest \(\displaystyle{ 5}\) takich możliwości.

Ustawiamy te dwie cyfry w dowolnym porządku na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów.

Pozostałe osiem cyfr umieszczamy na pozostałych ośmiu miejscach na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów.

Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{5\cdot 2!\cdot 8!}{10!} = \frac{1}{9}.}\)

Bardzo proszę nie tumanić użytkowników forum wymyślonymi pojęciami.

[Jan Kraszewski]

Nie takie rozumowanie. Nic nie sklejamy w superliczbę czy superelement. Co to za wymyślone pojęcia?
Bardzo proszę nie tumanić użytkowników forum wymyślonymi pojęciami.

Każdy może wymyślać takie pojęcia, jak mu wygodnie, dopóki prowadzi poprawne rozumowanie. Dużo gorsze jest wymyślanie fałszywych rozumowań.

JK

[Premislav]

Nie takie rozumowanie.

Proszę więc wskazać błąd w moim rozumowaniu. Jeśli rzeczywiście on wystąpił, będzie to z korzyścią i dla mnie, i dla czytających ten wątek.

[janusz47]

Pański schemat rozumowania nie jest zgodny z doświadczeniem losowym opisanym w zadaniu, nie wybieramy specjalnie liczb między liczby \(\displaystyle{ 0, 1.}\) i nie wstawiamy je tam. Ustawiamy losowo wszystkie cyfry \(\displaystyle{ 1 - 9.}\)

Po drugie sklejanie w jakiejś superliczby czy superelementy nie ma w tym powszechnie znanym schemacie kombinatorycznym najmniejszego sensu.

Nie można sobie wymyślać pojęć, które nie znajdują odzwierciedlenia w teorii kombinatorycznej czy prawdopodobieństwa.

[a4karo]

Nie można sobie wymyślać pojęć, które nie znajdują odzwierciedlenia w teorii kombinatorycznej czy prawdopodobieństwa.

Nie rozumiem, nie ma w procedurze więc nie wolno. Typowo urzędnicze podejście.

Otóż wolno i nawet trzeba, żeby nie utkwić w bezmyślnym powtarzaniu wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń i innych schematów, których szkoła uczy zamiast logicznego rozumowania.

[Premislav]

Niestety nie rozumiem tych zarzutów. Może po prostu jestem za tępy, nie rozumiem pojęć, którymi operujesz, jak zgodność schematu z doświadczeniem losowym (nie mówię, że nie ma czegoś takiego, nawet pewnie jest, tylko nie spotkałem się i nie bardzo pojmuję). Mamy tu prawdopodobieństwo klasyczne, rozróżnialne obiekty (cyfry), w jakikolwiek sposób, byle poprawny, obliczymy moc zbioru zdarzeń sprzyjających, będzie OK.

BTW Co to jest teoria kombinatoryczna? Słyszałem o kombinatorycznej teorii liczb, o kombinatorycznej teorii gier, ale o czymś takim niestety nie. Co to jest powszechnie znany schemat kombinatoryczny? Nigdy mnie o czymś takim nie uczono.

[janusz47]

Zadania na obliczanie prawdopodobieństw polegają na modelowaniu doświadczeń losowych wynikających z treści zadań.

Gdyby treść zadania brzmiała ze zbioru cyfr \(\displaystyle{ 0...9}\) losujemy cztery cyfry i umieszczamy je między cyframi \(\displaystyle{ 0, 1}\) ... itd. to Twój schemat rozwiązania mógł być poprawny

Tymczasem w treść zadania brzmi: "cyfry od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 9}\) ustawiamy losowo...

Dokładnie o tych zagadnieniach pisze Śp. Pan Prof. Lech Tadeusz Kubik w swojej książce
Rachunek Prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd.II PWN. Warszawa 1980.


Teoria kombinatoryczna, tak jak teoria grafów jest jednym z działów matematyki dyskretnej.

[Premislav]

Ale ja wiem, jak brzmi treść zadania, tylko że przecież moc zbioru zdarzeń sprzyjających nie zmieni się ze względu na sposób, jaki go obliczymy, byle zrobić to poprawnie. Poszedłem za podejściem Rozbitka i jak to zwykle bywa w szkolnych zadaniach dotyczących prawdopodobieństwa klasycznego obliczyłem po prostu moc zbioru zdarzeń sprzyjających i podzieliłem przez moc zbioru zdarzeń elementarnych. Nie odwołuję się tutaj do konstrukcji doświadczenia losowego, bo nie trzeba (choć można).
Ile jest wszystkich ustawień dziesięciu cyfr? No \(\displaystyle{ 10!}\). A ile jest takich, w których między zerem a jedynką znajdują się dokładnie cztery cyfry? To powyżej policzyłem, i nie zrobiłem tego niepoprawnie.
Moje obliczenia są równoważne Twoim, i jeśli tego nie widzisz, to nic nie poradzę (może gdyby dziesięć cyfr zastąpić \(\displaystyle{ n}\) rozróżnialnymi obiektami i stwierdzić, że między dwoma wyróżnionymi elementami chcemy mieć dokładnie \(\displaystyle{ k\le n-2}\) elementów, to prościej byłoby zobaczyć tę odpowiedniość, wtedy moje podejście poprowadzi do wyniku \(\displaystyle{ \frac{2{n-2\choose k}k!(n-k-1)!}{n!}= \frac{2(n-k-1)}{n(n-1)}}\), a Twoje do \(\displaystyle{ \frac{2(n-k-1)(n-2)!}{n!}}\) i o dziwo te liczby są równe, ciekawe czemu). Moim zdaniem czytasz za mało prozy i przez to masz zbyt sztywne podejście do języka (które każe Ci sądzić, że coś u mnie powyżej jest nielosowo), no ale to już subiektywne odczucie.

Niestety nie znalazłem żadnej książki dotyczącej teorii kombinatorycznej. Pomocy… Najbliżej znajduje się to: 27 kwi 2019, o 19:02 --Natomiast przyznam, że Twoje podejście do tego zadania jest zwyczajnie prostsze. Nadal nie widzę jednak, w jaki sposób moje rozwiązanie jest niepoprawne.

[janusz47]

Nie modelujesz doświadczenia losowego - jednoetapowego zgodnego z treścią zadania, obliczając ilość zdarzeń sprzyjających. Za dużo kombinujesz, permutujesz, scalasz, wprowadzając przy tym dziwolągi w postaci superliczby czy superelementu. Wiem, że moc omegi obliczyłeś poprawnie. Nie znasz prostego schematu kombinatorycznego na ilość możliwych ustawień w kolejce, tak aby pomiędzy dwiema wybranymi elementami znajdowały się na przykład cztery elementy. Nie przejmuj się moją sztywnością językową. Twoja jest za to super lotna i mi imponuje.

[Premislav]

Widać nie potrzebuję znajomości tego prostego schematu kombinatorycznego, ponieważ bez niego rozwiązałem zadanie (a jeśli jednak nie i tak mi się tylko wydaje, to niestety nie unaoczniłeś mi tego). To, czy za bardzo kombinuję, czy nie, jest czysto subiektywną oceną (pewnie coś w tym jest, gdyż nie przejawiam zdolności matematycznych i wobec tego moje rozwiązania często są na około).
Poprosiłbym o komentarz jakiegoś niezależnego obserwatora, ponieważ mam wrażenie, że mogę za mocno trzymać się swojej wersji, gdy jest ona niepoprawna (dostrzegam u siebie taką tendencję), a z drugiej strony nie uzyskałem satysfakcjonującego wyjaśnienia co do tego, jakiż to błąd popełniłem.

[Jan Kraszewski]

Nie modelujesz doświadczenia losowego - jednoetapowego zgodnego z treścią zadania, obliczając ilość zdarzeń sprzyjających. Za dużo kombinujesz, permutujesz, scalasz, wprowadzając przy tym dziwolągi w postaci superliczby czy superelementu.

No akurat "superelement" to jest ewidentnie licentia poetica Premislava, ale nie sądzę, by stanowiło to problem, bo można to rozwiązanie wysłowić bez neologizmów. Za jedyną jego wadę można uznać to, że nie jest to model najprostszy, bo zliczamy sprzyjające ciągi cyfr trochę "na około". Co nie zmienia faktu, że zliczamy je poprawnie.

JK

[a4karo]

No i teraz Premislav powinno być Ci strrrrrasznie głupio. Nie wpisałeś się w schemat i dostałeś po łapach..
I słusznie. Wyłamujesz się ze schematu. Jak Ty w ogóle maturę zdałeś.

[Jan Kraszewski]

Jak Ty w ogóle maturę zdałeś.

No akurat na maturze rozwiązanie Premislava spokojnie by przeszło...

JK