Metoda funkcji tworzącej

[FrostEvil]

Metodą funkcji tworzącej oblicz ile jest nieujemnych i całkowitych rozwiązań \(\displaystyle{ x+y+z=9}\) jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest dodatnią liczbą parzystą nie większą niż \(\displaystyle{ 5}\), a \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą nieparzystą nie większą niż \(\displaystyle{ 6}\) ( \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną liczbą nieujemną)

Doszedłem do postaci funkcji tworzącej ciągu liczby rozwiązań spełniających powyższe warunki i otrzymałem \(\displaystyle{ S(x)=(x ^{2}+x ^{4})(x+x ^{3}+x ^{5})( \frac{1}{x-1})}\). Jak teraz z tej funkcji tworzącej otrzymać ciąg? Na ćwiczeniach robiliśmy przykład, gdzie wszystko ładnie się redukowało i wychodziła np. funkcja tworząca \(\displaystyle{ \frac{1}{ (1-x)^{2} }}\) i wiadomo, że \(\displaystyle{ a _{n}=n}\).

[bartek118]

Rozwiń tę funkcję w szereg wokół zera. Nawiasy wielomianowe wymnóż.

[FrostEvil]

Nie do końca wiem o co chodzi... , mógłbyś podać przykład?

[bartek118]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} = - \sum_{n = 0}^\infty x^n}\)

Stąd
\(\displaystyle{ S(x) = -(x ^{2}+x ^{4})(x+x ^{3}+x ^{5}) \sum_{n = 0}^\infty x^n}\)

Teraz wymnażamy wszystko. Przy \(\displaystyle{ x}\) stoi wówczas pierwszy wyraz ciągu, przy \(\displaystyle{ x^2}\) drugi, itd.

[FrostEvil]

Zrobiłem, mam jeszcze jeden problem. Robię zadania polegające na wyznaczaniu wzoru jawnego przy pomocy funkcji tworzącej. W skrócie: Doszedłem do funkcji tworzącej postaci \(\displaystyle{ A(x)= \frac{ 32x^{2}-24x+5 }{(1-4x)(1-2x)^2}}\), rozłożyłem funkcje na ułamki proste \(\displaystyle{ A(x)= \frac{4}{1-4x}+ \frac{2}{1-2x} - \frac{1}{(1-2x)^2}}\) dla pierwszych dwóch składników potrafię określić ciąg natomiast mam problem z \(\displaystyle{ B(x)= \frac{1}{(1-2x)^2}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}= \sum_{n=0}^{+\infty}2^n x^n, |x|<\frac 1 2}\)
Różniczkujemy stronami (szeregi potęgowe różniczkuje się wyraz po wyrazie):
\(\displaystyle{ \frac{2}{(1-2x)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty}n2^n x^{n-1}}\),
dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-2x)^2}= \sum_{n=1}^{+\infty}n2^{n-1} x^{n-1}=\\= \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)2^n x^n}\)