Na ile sposobów

[max123321]

Na ile sposobów można przydzielić do trzech projektów (o numerach 1,2 i 3) czterdziestu rozróżnialnych naukowców (każdy ma zostać przydzielony do dokładnie jednego spośród projektów), tak, aby zarówno w pierwszym jak i w drugim projekcie brał udział co najmniej jeden naukowiec, a w trzecim co najmniej dwóch naukowców?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Z zasady włączeń i wyłączeń mamy, że liczba możliwości przydziału naukowców do projektów tak, by każdy miał przydzielonego co najmniej jednego naukowca wynosi:
\(\displaystyle{ 3^{40}-3 \cdot 2^{40}+3}\), ale licząc w ten sposób zliczamy też te możliwości, gdzie w trzecim projekcie będzie przydzielony jeden naukowiec, a w pozostałych dwóch co najmniej jeden, które są złe i które należy odjąć. Tak więc trzeba policzyć na ile sposobów można przydzielić naukowców do projektów tak, aby w trzecim projekcie był dokładnie jeden naukowiec, a w pozostałych dwóch co najmniej jeden. Wybierzmy, więc na jeden z \(\displaystyle{ 40}\) sposobów naukowca do trzeciego projektu. Pozostaje \(\displaystyle{ 39}\) naukowców których trzeba rozdzielić pomiędzy dwa projekty tak by w każdym był co najmniej jeden. Wybierzmy więc jednego naukowca do pierwszego projektu i \(\displaystyle{ 38}\) do drugiego na \(\displaystyle{ {39 \choose 1}}\) sposobów, potem dwóch naukowców do pierwszego projektu i \(\displaystyle{ 37}\) do drugiego na \(\displaystyle{ {39 \choose 2}}\) sposobów i tak dalej, aż do \(\displaystyle{ 38}\) naukowców do pierwszego projektu i jeden do drugiego. Sumując te wszystkie możliwości można napisać, że jest ich \(\displaystyle{ 40\left( {39 \choose 1}+ {39 \choose 2}+...+ {39 \choose 38} \right)}\), a to się z kolei równa \(\displaystyle{ 40\left({39 \choose 0}+ {39 \choose 1}+ {39 \choose 2}+...+ {39 \choose 38}+{39 \choose 39}-2 \right)=40(2^{39}-2)}\). I to trzeba odjąć od tego początkowego wyrażenia, czyli ostatecznie liczba sposobów o które pytają w zadaniu wynosi:
\(\displaystyle{ 3^{40}-3 \cdot 2^{40}+3-40(2^{39}-2)}\).

Czy tak jest dobrze? Prosiłbym o jakiś komentarz odnośnie tego rozwiązania lub też inne rozwiązanie jeśli to jest niepoprawne.

[Premislav]

Wygląda sensownie, tylko drugą część można odchudzić (ale na jedno wychodzi): na \(\displaystyle{ {40\choose 1}}\)sposobów wybierasz jednego naukowca do trzeciego projektu, pozostałych przydzielasz do dwóch pierwszych tak, aby żaden nie był nieobsadzony na \(\displaystyle{ 2^{39}-2}\) sposobów: od wszystkich możliwości przydziału \(\displaystyle{ 39}\) naukowców (dla każdego z nich masz dwie możliwości) odejmujesz tę, w której wszyscy zostali przydzieleni do pierwszego i tę, w której wszyscy zostali przydzieleni do drugiego.