Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 wrz 2016, o 09:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Jest dany zbiór \(\displaystyle{ A= \left\{ 1,2,3,4,5,6,7\right\}}\). Losujemy trzy liczby bez zwracania. Ile jest takich zdarzeń, że wylosowane liczby dadzą ciąg monotoniczny?
Już wiem, że może to być jedynie ciąg rosnący i malejący, gdyż losuje się bez zwracania, czyli liczby nie mogą się powtórzyć. W odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ 70}\). Da się to jakoś szybciej policzyć niż wypisując kolejne trójki?
Już wiem, że może to być jedynie ciąg rosnący i malejący, gdyż losuje się bez zwracania, czyli liczby nie mogą się powtórzyć. W odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ 70}\). Da się to jakoś szybciej policzyć niż wypisując kolejne trójki?
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2019, o 20:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie ilość, tylko liczba.
Powód: Nie ilość, tylko liczba.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Pewnie da się to sprytniej policzyć, ale ja jestem do bani z kombinatoryki. Drugim wyrazem ciągu musi być jedna z liczb \(\displaystyle{ 2,3,4,5,6}\). Gdy drugim wyrazem ciągu jest \(\displaystyle{ i\in\left\{ 2,3,4,5,6\right\}}\), to mamy \(\displaystyle{ (i-1)(7-i)}\) ciągów rosnących i tyle samo malejących, tak więc łącznie jest ich
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{6}2(i-1)(7-i)= \sum_{i=2}^{6}\left(-14+16i -2i^2\right)=\\=-70+16 \sum_{i=2}^{6}i-2 \sum_{i=2}^{6}i^2=-84+16 \sum_{i=1}^{6}i-2 \sum_{i=1}^{6}i^2=\\=-84+16\cdot 21-13\cdot 14=70}\)
Skorzystałem ze wzorów
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}, \ \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
dla \(\displaystyle{ n=6}\).
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{6}2(i-1)(7-i)= \sum_{i=2}^{6}\left(-14+16i -2i^2\right)=\\=-70+16 \sum_{i=2}^{6}i-2 \sum_{i=2}^{6}i^2=-84+16 \sum_{i=1}^{6}i-2 \sum_{i=1}^{6}i^2=\\=-84+16\cdot 21-13\cdot 14=70}\)
Skorzystałem ze wzorów
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}, \ \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
dla \(\displaystyle{ n=6}\).
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 787
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Wybierasz zatem trzy różne liczby ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Takich wyborów jest
\(\displaystyle{ {70 \choose 3} = 35}\)
Każde trzy różne liczby ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) możesz na dwa sposoby ustawić w ciąg monotoniczny: w ciąg rosnący albo w ciąg malejący. Zatem wszystkich takich ciągów jest
\(\displaystyle{ 35 \cdot 2 = 70}\)
\(\displaystyle{ {70 \choose 3} = 35}\)
Każde trzy różne liczby ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) możesz na dwa sposoby ustawić w ciąg monotoniczny: w ciąg rosnący albo w ciąg malejący. Zatem wszystkich takich ciągów jest
\(\displaystyle{ 35 \cdot 2 = 70}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 wrz 2016, o 09:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
To jest tylko część zadania maturalnego, zatem nie znam wzorów na sumowanie.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
No to Slup pokazał, jak to prosto i ładnie zrobić, ja nawet ze sprawdzianu z kombinatoryki w liceum dostałem kiedyś \(\displaystyle{ 4}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Choć kiedyś sam wpadłeś na pomysł nawet ogólniejszy KLIK. Numeracja "książek" z linku będzie odpowiadać tworzeniu ciągów monotonicznych.Pewnie da się to sprytniej policzyć, ale ja jestem do bani z kombinatoryki.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 wrz 2016, o 09:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Ale tam skąd to 70 nad 3? Nie rozumiem.
Nie rozumiem też, czemu ten dział tak trudno mi idzie. Byle tylko nie dali na maturze zadania optymalizacyjnego, w którym trzeba przedstawić pewne prawdopodobieństwo za pomocą zmiennej x i wyznaczyć coś tam.
Nie rozumiem też, czemu ten dział tak trudno mi idzie. Byle tylko nie dali na maturze zadania optymalizacyjnego, w którym trzeba przedstawić pewne prawdopodobieństwo za pomocą zmiennej x i wyznaczyć coś tam.
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 787
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Powinno być
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} = 35}\)
Moja pomyłka. Chodzi o to, że tyle jest trójelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} = 35}\)
Moja pomyłka. Chodzi o to, że tyle jest trójelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2019, o 07:40 przez Slup, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 wrz 2016, o 09:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Ale skąd wiadomo, czy spośród tych trzech liczb utworzy się ciąg monotoniczny?
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
A czy trzy różne liczby z tego zbioru mogą być takie, że nie da się z nich ułożyć ciągu monotonicznego? Przecież można je posortować od najmniej do największej. Stąd dla każdych trzech liczb są dwie możliwości (rosnąco albo malejąco).
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Wybierasz trzy liczby - jest takich możliwych trójek \(\displaystyle{ 35}\).
Weź jedną z nich np 123 i ułóż wszystkie ciągi - zobacz ile jest monotonicznych.
Weź jedną z nich np 123 i ułóż wszystkie ciągi - zobacz ile jest monotonicznych.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
No z takich liczb masz \(\displaystyle{ 1,2,3}\) - rosnący oraz \(\displaystyle{ 3,2,1}\) - malejący.U238 pisze:A np. 132?
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 wrz 2016, o 09:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
No tak, ale mi chodzi o to, że jak jest 7 nad 3, to wybieram z 7 liczb trzy dowolne. Czyli mogę wybrać 1,3,2 i to jest jeden ciąg. Ale mogę też wybrać 1,2,3 i to już inny ciąg jest.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Liczba ciągów monotonicznych utworzonych ze zbioru liczb
Nie, bez sensu. Liczba \(\displaystyle{ \binom{7}{3}}\) to liczba \(\displaystyle{ 3}\)-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ 7}\)-elementowego. Dlatego kolejność nie ma znaczenia i zliczając w ten sposób nie odróżniamy od siebie wyników \(\displaystyle{ (1, 2, 3)}\), \(\displaystyle{ (3,2,1)}\), \(\displaystyle{ (1,3,2)}\), \(\displaystyle{ (1,2,3)}\), \(\displaystyle{ (2,3,1)}\), \(\displaystyle{ (2,1,3)}\).