Grafy - wierzchołek należący do cyklu

[MrCommando]

Czy prawdziwe jest stwierdzenie: jeśli \(\displaystyle{ \forall_{v \in V(G)} deg(v)\geq­ 2}\) i jest parzysty, to każdy wierzchołek należy do pewnego cyklu?

Generalnie wygląda na to, że tak, tylko nie widzę na razie sensownego pomysłu na dowód. Jakieś wskazówki? Oczywiście \(\displaystyle{ G}\) jest grafem prostym.

[arek1357]

Wydaje mi się , że je żeli założysz nie wprost, że istnieje jakiś wierzchołek , który nie należy do żadnego cyklu , to weź pod uwagę wszystkie wierzchołki bezpośrednio połączone z tym wierzchołkiem krawędziami,
zsumuj stopnie i powinno się dojść do sprzeczności...

[MrCommando]

Nad tym, żeby założyć nie wprost też myślałem. Tylko o czym konkretnie informuje nas to, że on nie należy do żadnego cyklu? Jaki ma to wpływ na stopnie? Właśnie tego tutaj nie widzę.

[arek1357]

jak widać, liczba krawędzi w tym układzie jest większa od liczby wierzchołków ,Łatwo zauważyć, że wobec tego w tym układzie występuje przynajmniej jeden cykl.